HesapHanem

Farey Dizisi Üreteci

Farey dizisini üretmek için bir n mertebesi girin.

Nasıl hesaplanır?

Araç, ilk iki komşu olan 0/1 ve 1/n kesirlerinden başlar ve sonraki her kesri önceki ikisinden komşuluk özyinelemesiyle üretir: k = taban((n + b) / d), ardından sonraki = (k·c − a) / (k·d − b); burada a/b ve c/d son iki kesirdir. 1/1'e ulaşınca durur. Bu özyineleme sayesinde her kesir zaten sadeleşmiş ve artan sırada çıkar; sıralama ya da OBEB adımı gerekmez. Mertebe n en yakın tam sayıya yuvarlanır ve 1 ile 50 arasında olmalıdır; bu aralığın dışında sonuç verilmez. Bildirilen sayı kesir adedidir ve 1 + φ(1) + φ(2) + … + φ(n) değerine eşittir; φ Euler'in phi fonksiyonudur.

Örnek hesaplama

n = 5 alalım. Dizi 0/1 ve 1/5 ile başlar, sonraki terimler özyinelemeden gelir ve liste şöyledir: 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1. Sayarsanız 11 kesir eder. Phi formülüyle kontrol: φ(1..5) = 1, 1, 2, 2, 4 toplamı 10, baştaki 0/1 için 1 eklenince 11 çıkar. 2/5 ve 1/2 gibi komşular 1·5 − 2·2 = 1 koşulunu sağlar.

Bu örneği dene →

Sık yapılan hatalar

  • Sadeleşmemiş kesirler beklemek. 2/4 ya da 3/6 dizide yer almaz, çünkü 1/2 bunları zaten kapsar; bu yüzden sayı, paydası n'i geçmeyen tüm a/b çiftlerinden azdır.
  • Mertebe n ile terim sayısını karıştırmak. F_5 beş değil 11 terimlidir; terim sayısı yaklaşık n² ile büyür.
  • 4,6 gibi ondalık bir sayı girmek. Araç bunu 5'e yuvarlar ve F_5 gelir.
  • 50'nin üzerinde bir mertebe girip liste beklemek. Araç yalnızca 1 ile 50 arasını işler, ötesinde sonuç vermez.
  • Hem 0/1 hem 1/1'in dizide olduğunu unutmak; sayıyı phi toplamıyla kıyaslarken fark yaratır.

Bu hesaplama hakkında

n mertebeli Farey dizisi F_n, 0 ≤ a ≤ b ≤ n koşulunu sağlayan ve sadeleştirilmiş a/b biçimindeki tüm kesirleri, 0/1 ile 1/1 arasında artan sırayla listeler — örneğin F_3, 0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1 kesirlerinden oluşur. Dizideki ardışık kesirler, komşu a/b ve c/d kesirleri için çapraz çarpım farkının (bc − ad) her zaman tam olarak 1'e eşit olması özelliğini taşır.

Sayılar teorisi öğrencileri ve meraklıları, rasyonel yaklaşımı, Stern-Brocot ağacını ve sınırlı paydalı kesirlerin dağılımını incelemek için Farey dizilerini kullanır; ayrıca sürekli kesirler, Riemann hipotezinin Franel-Landau yeniden ifadesi ve belirli bir paydaya kadar tüm sadeleştirilmiş kesirleri tekrarsız üretme gibi problemlerde karşımıza çıkarlar.

Bu faydalı oldu mu?

En fazla 3 tepki seçebilirsiniz.

Yorumlar

  • İlk yorumu siz yazın.

Popüler hesaplayıcılar

Kredi Hesaplama

Aylık taksit, toplam faiz ve ödeme planını hesaplayın.

Yüzde Hesaplama

Yüzde değişim, indirim ve oran hesaplamaları.

İndirim Hesaplama

İndirimli fiyatı, kazancı ve indirim tutarını hesaplayın.

Vücut Kitle Endeksi (VKİ)

Boy ve kiloya göre vücut kitle endeksini hesaplayın.

Yaş Hesaplama

Doğum tarihinden bugüne tam yıl, ay ve gün cinsinden yaşınızı hesaplayın.

Bileşik Faiz Hesaplama

Ana para, faiz oranı ve süreye göre bileşik faizle nihai tutarı hesaplayın.

Tüm Hesaplayıcılar