HesapHanem

Stirling Sayıları Hesaplama

Birinci ve ikinci tür Stirling sayılarını bulmak için n ve k girin.

Nasıl hesaplanır?

İki sayı da küçük durumlardan, tam sayı aritmetiğiyle kurulur. İkinci tür, n nesnenin k boş olmayan gruba bölünme sayısıdır: S(n,k) = k·S(n−1,k) + S(n−1,k−1). Birinci tür, n nesnenin tam k döngülü permütasyonlarının sayısıdır: c(n,k) = (n−1)·c(n−1,k) + c(n−1,k−1). İkisi de S(0,0) = c(0,0) = 1 değerinden başlar.

Birinci tür değer işaretsiz olandır; işaretli birinci tür Stirling sayısı (−1)n−k işaretini taşır. n ve k tam sayıya yuvarlanır ve 0 ile 25 arasında olmalıdır; bu aralığın dışında sonuç çıkmaz. k, n'den büyükse ya da n sıfırdan büyükken k = 0 ise iki sonuç da 0'dır. Büyük değerler binlik ayraçlarla tam olarak yazılır; örneğin n = 25 ve k = 10 için sırasıyla 19 ve 22 basamaklı sayılar çıkar.

Örnek hesaplama

n = 5 ve k = 2 alalım. İkinci tür: S(5,2) = 2·S(4,2) + S(4,1) = 2·7 + 1 = 15; yani beş etiketli nesne boş olmayan iki gruba 15 farklı biçimde bölünebilir. Birinci tür: c(5,2) = 4·c(4,2) + c(4,1) = 4·11 + 6 = 50; beş nesnenin 120 permütasyonundan 50'si tam iki döngüden oluşur. Araç ikinci tür için 15, birinci tür için 50 gösterir.

Bu örneği dene →

Sık yapılan hatalar

  • İki türü karıştırmak: ikinci tür değer (burada 15) küme bölüntülerini, birinci tür değer (50) döngü sayısına göre permütasyonları sayar. İkisi yalnızca k = n gibi basit durumlarda örtüşür; orada ikisi de 1 olur.
  • İşaretli birinci tür sayıyı beklemek: araç işaretsiz değeri verir, n − k tek olsa bile eksi işareti görünmez.
  • Grupları sıralı saymak: S(n,k) ile sayılan bölüntüler sırasızdır; {1,2} ve {3,4,5} bölünmesi ters sırayla aynıdır. Sıralı ve örten dağılımlar için k! ile çarpın.
  • 25'ten büyük n kullanmak: araç tüm basamakları tam tutmak için 25'te durur, daha büyük değerlerde yuvarlanmış sayı yerine sonuç çıkmaz.
  • n sıfırdan büyükken k = 0 girip 1 beklemek: nesneleri sıfır tane boş olmayan gruba yerleştirmenin yolu yoktur, iki sonuç da 0 olur. Yalnızca n = 0 ve k = 0 için sonuç 1'dir.

Bu hesaplama hakkında

Stirling sayıları, n nesneyi k tamsayısı etrafında ayrıştıran ama farklı şeyleri sayan iki aileden oluşur. Birinci tür Stirling sayıları s(n,k), n elemanlı bir permütasyonun tam olarak k tane ayrık döngüye ayrıldığı düzenlemelerin sayısını verir; ikinci tür Stirling sayıları S(n,k) ise n elemanlı bir kümenin tam olarak k tane boş olmayan, sırasız alt kümeye bölünme sayısını verir. Her ikisi de basit özyineleme bağıntılarına uyar — örneğin S(n,k) = k·S(n−1,k) + S(n−1,k−1) — ve bu hesaplayıcı da sayıları küçük durumlardan büyüterek bu şekilde bulur.

Kombinatorik ve ayrık matematik öğrencileri bu sayıları permütasyon döngü yapısı ve küme bölüntüsü ile ilgili sayma problemlerini çözmek için kullanırken, bilgisayar bilimciler ikinci tür Stirling sayılarını veriyi gruplayan veya kovalara ayıran algoritmaları analiz etmede ve düşen faktöriyellerle sıradan üsler arasında dönüşüm yapan formüllerde kullanır.

Bu faydalı oldu mu?

En fazla 3 tepki seçebilirsiniz.

Yorumlar (1)

  • Editör ekibi

    İki hızlı doğrulama: k = 2 iken ikinci tür sayı 2^(n-1) - 1, k = 1 iken işaretsiz birinci tür sayı ise (n-1) faktöriyeldir. n = 6 için bunlar 31 ve 120 verir. Araç n ve k için 25'e kadar çalışır ve k, n'den büyükse 0 döndürür. İşaretli birinci tür değerlere mi yoksa tablonun bir satırının tamamına mı ihtiyacınız var?

Popüler hesaplayıcılar

Kredi Hesaplama

Aylık taksit, toplam faiz ve ödeme planını hesaplayın.

Yüzde Hesaplama

Yüzde değişim, indirim ve oran hesaplamaları.

İndirim Hesaplama

İndirimli fiyatı, kazancı ve indirim tutarını hesaplayın.

Vücut Kitle Endeksi (VKİ)

Boy ve kiloya göre vücut kitle endeksini hesaplayın.

Yaş Hesaplama

Doğum tarihinden bugüne tam yıl, ay ve gün cinsinden yaşınızı hesaplayın.

Bileşik Faiz Hesaplama

Ana para, faiz oranı ve süreye göre bileşik faizle nihai tutarı hesaplayın.

Tüm Hesaplayıcılar