HesapHanem

Üç Noktadan Düzlem Hesaplama

Aynı doğru üzerinde olmayan üç noktanın x, y, z koordinatlarını girin.

Nasıl hesaplanır?

A noktasından iki kenar vektörü kurulur: AB = B − A ve AC = C − A. Bunların vektörel çarpımı n = AB × AC = (nx, ny, nz) düzleme diktir; dolayısıyla Ax + By + Cz + D = 0 denkleminde A = nx, B = ny, C = nz olur. D, A noktası yerine konarak bulunur: D = −(nx·ax + ny·ay + nz·az).

Dokuz girdi, A, B ve C noktalarının tutarlı bir birimdeki x, y, z koordinatlarıdır. Katsayılar dört ondalıkla yazılır ve normalin uzunluğuna bölünmez; yani birim normal değildir ve aynı düzlemi anlatan sıfırdan farklı herhangi bir çarpanla ölçeklenebilir. Üç nokta aynı doğru üzerindeyse (ya da ikisi çakışıksa) vektörel çarpım sıfır olur ve araç sonuç vermez.

Örnek hesaplama

A = (1, 0, 0), B = (0, 2, 0) ve C = (0, 0, 3) olsun. Bu durumda AB = (−1, 2, 0) ve AC = (−1, 0, 3) bulunur. Vektörel çarpım (2·3 − 0·0, 0·(−1) − (−1)·3, (−1)·0 − 2·(−1)) = (6, 3, 2) olur. A noktasıyla D = −(6·1 + 3·0 + 2·0) = −6 çıkar. Düzlem 6x + 3y + 2z − 6 = 0 ve araç A = 6,0000, B = 3,0000, C = 2,0000, D = −6,0000 gösterir. B ve C de denklemi sağlar: 3·2 − 6 = 0 ve 2·3 − 6 = 0.

Bu örneği dene →

Sık yapılan hatalar

  • Aynı doğru üzerindeki üç nokta girmek; örneğin (1,1,1), (2,2,2) ve (3,3,3). Bunlar tek bir düzlem belirlemez, araç sonuç vermez.
  • Yazılan A, B, C değerlerini birim normal sanmak. Normalize edilmezler; birim normal gerekiyorsa vektör uzunluğuna kendiniz bölün.
  • İşaretlerin sabit olduğunu düşünmek. Noktaların sırası değişince normal ve D'nin işareti ters döner, düzlem ise aynı kalır.
  • Koordinatlarda birimleri karıştırmak; x'i metre, z'yi santimetre girmek gibi. Dokuz sayının hepsi aynı birimde olmalıdır.
  • Bir koordinatı yanlış kutuya yazmak; örneğin by değerini bx kutusuna girmek, sessizce başka bir düzlem tanımlar.

Bu hesaplama hakkında

Aynı doğru üzerinde olmayan üç nokta verildiğinde, düzlemin normal vektörü, noktalardan oluşturulan iki kenar vektörünün çapraz çarpımı (cross product) alınarak bulunur: n = (P₂ − P₁) × (P₃ − P₁). Bu normal vektörün bileşenleri, Ax + By + Cz + D = 0 düzlem denklemindeki A, B, C katsayıları haline gelir; D ise üç noktadan herhangi birinin denklemde yerine konmasıyla çözülür.

3B grafik programcıları, aydınlatma ve çarpışma hesaplamaları için yüzey normallerini bulmak amacıyla bunu kullanır; CAD ve BIM mühendisleri, bir model üzerindeki ölçülmüş noktalardan referans düzlemler ve kesit tanımlamak için kullanır; harita mühendisleri ve jeodeziciler ise bir sahada yükseklik ölçümü yapılmış üç nokta üzerinden en uygun zemin düzlemini oturtmak için aynı çapraz çarpım yöntemini kullanır.

Bu faydalı oldu mu?

En fazla 3 tepki seçebilirsiniz.

Yorumlar (1)

  • Editör ekibi

    Noktaların sırası normalin hangi yöne baktığını belirler; ışıklandırma ve çarpışma işlerinde bu önemlidir. A orijinde, B (1,0,0) ve C (0,1,0) iken C katsayısı 1,0000 çıkar; B ile C yer değiştirirse -1,0000 olur, oysa düzlem aynıdır. Motorunuz dışa bakan normal bekliyorsa noktaları her yüzde tutarlı bir sırayla girin. Bu düzlemleri ne için hesaplıyorsunuz?

Popüler hesaplayıcılar

Kredi Hesaplama

Aylık taksit, toplam faiz ve ödeme planını hesaplayın.

Yüzde Hesaplama

Yüzde değişim, indirim ve oran hesaplamaları.

İndirim Hesaplama

İndirimli fiyatı, kazancı ve indirim tutarını hesaplayın.

Vücut Kitle Endeksi (VKİ)

Boy ve kiloya göre vücut kitle endeksini hesaplayın.

Yaş Hesaplama

Doğum tarihinden bugüne tam yıl, ay ve gün cinsinden yaşınızı hesaplayın.

Bileşik Faiz Hesaplama

Ana para, faiz oranı ve süreye göre bileşik faizle nihai tutarı hesaplayın.

Tüm Hesaplayıcılar