HesapHanem

Yıldız ve Çubuk Hesaplama

Dağılım sayısını hesaplamak için öğe ve grup sayısını girin.

Sonuç

286
C(n+k-1, k-1)

Nasıl hesaplanır?

Araç, n özdeş öğenin k ayrık gruba kaç şekilde dağıtılabileceğini sayar; hangi grubun ne aldığı önemlidir, ama tek tek öğelerin hangisi olduğu önemli değildir. Gruplar boş kalabiliyorsa: yol sayısı = C(n + k − 1, k − 1). Her grup en az bir öğe almak zorundaysa: yol sayısı = C(n − 1, k − 1); n, k'dan küçükse sonuç 0'dır. Burada C(a, b) binom katsayısıdır: a! ÷ (b! × (a − b)!). Öğe ve grup sayıları tam sayıya yuvarlanır, öğe sayısı negatif olamaz, grup sayısı en az 1 olmalıdır; iki sayıdan biri 10.000.000'u aşarsa sonuç çıkmaz. 1015'in altındaki sonuçlar tam yazılır; daha büyükleri 4,8376 × 10³⁶ gibi bilimsel gösterimle ve yaklaşık olarak görünür.

Örnek hesaplama

10 özdeş şekeri 4 çocuk arasında paylaştırın; bir çocuk hiç şeker almayabilir. Adım 1: n = 10, k = 4. Adım 2: yol sayısı = C(10 + 4 − 1, 4 − 1) = C(13, 3). Adım 3: C(13, 3) = 13 × 12 × 11 ÷ 6 = 286. Her çocuk en az bir şeker alacak olsaydı formül C(9, 3) = 84 olurdu.

Bu örneği dene →

Sık yapılan hatalar

  • Her grup en az bir öğe almalıyken boş gruplara izin veren modu seçmek; sayı fazla çıkar (burada 84 yerine 286).
  • Farklı öğeler için kullanmak: ayırt edilebilir nesnelerde her öğe grubunu seçer ve sonuç binom katsayısı değil kn olur.
  • Gruplar da özdeşse kullanmak; o zaman bölüntüleri (partition) sayarsınız, bu farklı ve daha zor bir sayımdır.
  • Öğe ve grup sayısını karıştırmak; sonuç çok farklı çıkar.
  • En az 1 dışındaki asgari miktarı unutmak: her grup en az 2 alacaksa önce garanti öğeleri çıkarıp kalanı sayın.

Bu hesaplama hakkında

William Feller'in popülerleştirdiği kombinatorik alanındaki klasik bir sonuç olan yıldız ve çubuk teoremi, n adet özdeş öğenin k adet ayrık gruba kaç farklı şekilde bölüştürülebileceğini sayar. Boş gruplara izin verildiğinde sonuç, C(n + k − 1, k − 1) binom katsayısıdır — n yıldız ile k − 1 çubuğun bir sırada dizilmesi olarak görselleştirilir; boş gruba izin verilmediğinde ise formül C(n − 1, k − 1) hâline gelir, çünkü kalan öğeler serbestçe dağıtılmadan önce her grubun en az bir öğe alması gerekir.

Bu hesap makinesi öğe ve grup sayınızı alır, seçtiğiniz varyanta uygun binom katsayısını uygular ve farklı dağılım sayısını döndürür. Kombinatorik öğrencileri, yarışma programcıları ve ayrık matematik okutan eğitmenler, "özdeş nesneler ayrık kutulara kaç farklı şekilde bölüştürülebilir" sorusuna indirgenen ödev ve yarışma sorularını kontrol etmek için bu aracı kullanır — bu örüntü, etiketli kavanozlara ayırt edilemeyen toplar dağıtma gibi olasılık problemlerinin de temelini oluşturur.

Bu faydalı oldu mu?

En fazla 3 tepki seçebilirsiniz.

Yorumlar (1)

  • Editör ekibi

    Tatlı paylaşmanın ötesinde, bu araç tekrarlı seçimleri de sayar. Tekrara izin verilen ve sıranın önemli olmadığı durumda 3 çeşitten 5 çörek seçmek, boş gruplara izin verilen 3 gruba 5 öğe dağıtmaktır ve sonuç 21 çıkar. Aynı zamanda x + y + z = 5 denkleminin negatif olmayan tam sayı çözümlerini de sayar. Hangi sayma problemini bu kalıba oturtmaya çalışıyorsunuz?

Popüler hesaplayıcılar

Kredi Hesaplama

Aylık taksit, toplam faiz ve ödeme planını hesaplayın.

Yüzde Hesaplama

Yüzde değişim, indirim ve oran hesaplamaları.

İndirim Hesaplama

İndirimli fiyatı, kazancı ve indirim tutarını hesaplayın.

Vücut Kitle Endeksi (VKİ)

Boy ve kiloya göre vücut kitle endeksini hesaplayın.

Yaş Hesaplama

Doğum tarihinden bugüne tam yıl, ay ve gün cinsinden yaşınızı hesaplayın.

Bileşik Faiz Hesaplama

Ana para, faiz oranı ve süreye göre bileşik faizle nihai tutarı hesaplayın.

Tüm Hesaplayıcılar