Verificador de matriz definida positiva

Sobre esta calculadora

Para unha matriz simétrica 2×2 escrita como [[a, b], [b, c]], a súa definitude — se a forma cuadrática que representa é sempre positiva, sempre negativa ou mixta — pódese ler directamente a partir de dous números: a entrada principal a e o determinante, det = ac − b². Polo criterio de Sylvester aplicado ao caso 2×2, a matriz é definida positiva se a é maior que 0 e o determinante é maior que 0; semidefinida positiva se a, c e o determinante son todos polo menos 0 (permitíndose a igualdade — hai que comprobar as dúas entradas diagonais, xa que os menores principais por si sós non resolven a semidefinitude), sendo a semidefinida negativa o caso especular; definida negativa se a é menor que 0 e o determinante é maior que 0; e indefinida sempre que o determinante sexa negativo, o que significa que a matriz produce valores tanto positivos como negativos segundo a dirección.

Esta clasificación importa en toda a álxebra lineal e nas súas aplicacións: en optimización, a matriz hessiana dunha función nun punto crítico debe ser definida positiva para que ese punto sexa un mínimo local (definida negativa para un máximo local, indefinida para un punto de sela); en estatística, unha matriz de covarianzas válida debe ser semidefinida positiva; e nos métodos numéricos, a definitude positiva garante que existen certas descomposicións matriciais (como a descomposición de Cholesky). Esta calculadora toma as entradas a, b e c dunha matriz simétrica 2×2 e clasifícaa usando estas probas, comprobando primeiro os casos definidos estritos para que cada matriz caia exactamente nunha categoría.