Preverjanje pozitivno definitne matrike

O tem kalkulatorju

Pri simetrični matriki 2×2, zapisani kot [[a, b], [b, c]], je njeno definitnost — ali je kvadratna forma, ki jo predstavlja, vedno pozitivna, vedno negativna ali mešana — mogoče prebrati neposredno iz dveh števil: vodilnega elementa a in determinante, det = ac − b². Po Sylvestrovem kriteriju, uporabljenem na primeru 2×2, je matrika pozitivno definitna, če je a večji od 0 in je determinanta večja od 0; pozitivno semidefinitna, če so a, c in determinanta vsi vsaj 0 (z dovoljeno enakostjo — preveriti je treba oba diagonalna elementa, saj vodilni minorji sami po sebi ne odločijo o semidefinitnosti), pri čemer je negativna semidefinitnost zrcalni primer; negativno definitna, če je a manjši od 0 in je determinanta večja od 0; in nedefinitna, kadar koli je determinanta negativna, kar pomeni, da matrika glede na smer daje tako pozitivne kot negativne vrednosti.

Ta razvrstitev je pomembna v linearni algebri in njenih uporabah: pri optimizaciji mora biti Hessejeva matrika funkcije v kritični točki pozitivno definitna, da je ta točka lokalni minimum (negativno definitna za lokalni maksimum, nedefinitna za sedlo); v statistiki mora biti veljavna kovariančna matrika pozitivno semidefinitna; v numeričnih metodah pa pozitivna definitnost zagotavlja, da določeni razcepi matrik (na primer razcep Choleskega) obstajajo. Ta kalkulator vzame elemente a, b in c simetrične matrike 2×2 ter jo razvrsti s temi preizkusi, pri čemer najprej preveri stroga definitna primera, tako da vsaka matrika pade natanko v eno kategorijo.