正定矩阵检验器

关于此计算器

对于一个写成 [[a, b], [b, c]] 形式的 2×2 对称矩阵，它的定性——也就是它所代表的二次型是恒为正、恒为负，还是正负混合的——可以直接从两个数字中读出来：首项元素 a，以及行列式 det = ac − b²。把西尔维斯特判据（Sylvester）应用到 2×2 的情形上可以得到：如果 a 大于 0 并且行列式大于 0，那么这个矩阵是正定的；如果 a、c 和行列式都不小于 0（也就是允许取等号——两个对角元素都必须检查，因为仅凭顺序主子式并不能确定半定性），那么它是半正定的，半负定则是与之镜像的情形；如果 a 小于 0 并且行列式大于 0，那么它是负定的；而只要行列式为负，它就是不定的，这意味着该矩阵会随着方向的不同而同时产生正值和负值。

这种分类在线性代数及其各类应用中都很重要：在最优化问题里，一个函数在临界点处的黑塞矩阵必须是正定的，该临界点才会是一个局部极小值点（负定对应局部极大值点，不定则对应鞍点）；在统计学中，一个有效的协方差矩阵必须是半正定的；而在数值计算方法中，正定性保证了某些矩阵分解（例如楚列斯基分解，Cholesky）一定存在。本计算器会读取一个对称 2×2 矩阵的元素 a、b 和 c，并用上述判别法对它作出分类，先检查严格定的情形，从而使每个矩阵都恰好落入一个类别。