Verificador de matriz definida positiva

Acerca de esta calculadora

Para una matriz simétrica de 2×2 escrita como [[a, b], [b, c]], su definitud — si la forma cuadrática que representa es siempre positiva, siempre negativa o mixta — puede leerse directamente a partir de dos números: el elemento principal a y el determinante, det = ac − b². Aplicando el criterio de Sylvester al caso 2×2, la matriz es definida positiva si a es mayor que 0 y el determinante es mayor que 0; semidefinida positiva si a, c y el determinante son todos al menos 0 (se admite la igualdad — hay que comprobar ambos elementos de la diagonal, ya que los menores principales por sí solos no resuelven la semidefinitud), siendo la semidefinida negativa el caso simétrico; definida negativa si a es menor que 0 y el determinante es mayor que 0; e indefinida siempre que el determinante sea negativo, lo que significa que la matriz produce valores tanto positivos como negativos según la dirección.

Esta clasificación es importante en el álgebra lineal y en sus aplicaciones: en optimización, la matriz hessiana de una función en un punto crítico debe ser definida positiva para que ese punto sea un mínimo local (definida negativa para un máximo local e indefinida para un punto de silla); en estadística, una matriz de covarianzas válida debe ser semidefinida positiva; y en métodos numéricos, la definitud positiva garantiza que existan ciertas descomposiciones matriciales (como la descomposición de Cholesky). Esta calculadora toma los elementos a, b y c de una matriz simétrica de 2×2 y la clasifica usando estas pruebas, comprobando primero los casos estrictamente definidos para que cada matriz caiga en exactamente una categoría.