正定値行列チェッカー

この計算ツールについて

[[a, b], [b, c]] と書かれる2×2の対称行列については、その定符号性、すなわちその行列が表す二次形式が常に正になるのか、常に負になるのか、それとも符号が混ざるのかを、二つの数値から直接読み取ることができます。その二つとは、先頭の成分 a と行列式 det = ac − b² です。2×2の場合にシルベスターの判定法を当てはめると、a が 0 より大きく、かつ行列式が 0 より大きいとき、その行列は正定値です。a、c および行列式がいずれも 0 以上であれば（等号も認められます。首座小行列式だけでは半定符号性は決まらないため、対角成分は両方とも確認しなければなりません）半正定値であり、半負定値はその鏡像にあたる場合です。a が 0 より小さく、かつ行列式が 0 より大きければ負定値となります。そして行列式が負である場合には常に不定符号であり、方向によって正の値も負の値も生じることを意味します。

この分類は、線形代数とその応用の全体にわたって重要です。最適化においては、ある臨界点が局所的な最小値であるためには、その点における関数のヘッセ行列が正定値でなければなりません（局所的な最大値であれば負定値、鞍点であれば不定符号です）。統計学においては、妥当な共分散行列は半正定値でなければなりません。また数値計算の手法においては、正定値であることが、コレスキー分解のような特定の行列分解の存在を保証します。この計算ツールは、対称な2×2行列の成分 a、b、c を入力として受け取り、これらの判定を用いてその行列を分類します。狭義の定符号の場合から先に確認するため、どの行列もちょうど一つの分類に収まります。