أداة فحص المصفوفة الموجبة التحديد

حول هذه الأداة

بالنسبة إلى مصفوفة متماثلة من الرتبة 2×2 تُكتب على الصورة [[a, b], [b, c]]، يمكن قراءة تحديدها — أي ما إذا كانت الصورة التربيعية التي تمثّلها موجبة دائمًا أو سالبة دائمًا أو مختلطة — مباشرةً من عددين: العنصر الرئيسي a والمحدد، det = ac − b². وبتطبيق معيار سيلفستر على حالة 2×2، تكون المصفوفة موجبة التحديد إذا كان a أكبر من 0 والمحدد أكبر من 0؛ وموجبة شبه التحديد إذا كان a و c والمحدد جميعها أكبر من 0 أو تساويه (مع السماح بالتساوي — إذ يجب فحص عنصري القطر كليهما، لأن المحددات الصغرى الرئيسية وحدها لا تحسم شبه التحديد)، مع سالبة شبه التحديد بوصفها الحالة المناظرة المعكوسة؛ وسالبة التحديد إذا كان a أصغر من 0 والمحدد أكبر من 0؛ وغير محددة الإشارة كلما كان المحدد سالبًا، بمعنى أن المصفوفة تنتج قيمًا موجبة وسالبة معًا بحسب الاتجاه.

يهمّ هذا التصنيف في الجبر الخطي وتطبيقاته: ففي التحسين، يجب أن تكون مصفوفة هسه لدالة عند نقطة حرجة موجبة التحديد كي تكون تلك النقطة نهاية صغرى محلية (وسالبة التحديد لنهاية عظمى محلية، وغير محددة الإشارة لنقطة سرج)؛ وفي الإحصاء، يجب أن تكون مصفوفة التغاير الصالحة موجبة شبه التحديد؛ وفي الطرق العددية، يضمن كون المصفوفة موجبة التحديد وجود تحليلات مصفوفية معينة (مثل تحليل تشوليسكي). تأخذ هذه الحاسبة العناصر a و b و c لمصفوفة متماثلة من الرتبة 2×2 وتصنّفها باستخدام هذه الاختبارات، مع فحص حالات التحديد الصارم أولًا حتى تقع كل مصفوفة في فئة واحدة بالضبط.