Pozitív definit mátrix ellenőrző

Erről a kalkulátorról

Egy [[a, b], [b, c]] alakban felírt 2×2-es szimmetrikus mátrix definitsége — vagyis hogy az általa képviselt kvadratikus alak mindig pozitív, mindig negatív vagy vegyes értékű-e — két számból közvetlenül leolvasható: a vezető elemből, a-ból, és a determinánsból, det = ac − b². A Sylvester-kritérium 2×2-es esetre alkalmazva a mátrix pozitív definit, ha a nagyobb 0-nál és a determináns nagyobb 0-nál; pozitív szemidefinit, ha a, c és a determináns mind legalább 0 (az egyenlőség megengedett — mindkét főátlóbeli elemet ellenőrizni kell, mert a vezető minorok önmagukban nem döntik el a szemidefinitséget), a negatív szemidefinit eset pedig ennek tükörképe; negatív definit, ha a kisebb 0-nál és a determináns nagyobb 0-nál; és indefinit minden olyan esetben, amikor a determináns negatív, vagyis a mátrix iránytól függően pozitív és negatív értékeket egyaránt felvesz.

Ez az osztályozás a lineáris algebra és alkalmazásai számos területén számít: az optimalizálásban egy függvény kritikus pontjában felírt Hesse-mátrixnak pozitív definitnek kell lennie ahhoz, hogy a pont lokális minimum legyen (negatív definitnek lokális maximumhoz, indefinitnek nyeregponthoz); a statisztikában egy érvényes kovarianciamátrixnak pozitív szemidefinitnek kell lennie; a numerikus módszerekben pedig a pozitív definitség garantálja bizonyos mátrixfelbontások (például a Cholesky-felbontás) létezését. Ez a kalkulátor egy szimmetrikus 2×2-es mátrix a, b és c elemeit veszi alapul, és ezekkel a próbákkal osztályozza, előbb a szigorú definit eseteket vizsgálva, így minden mátrix pontosan egy kategóriába kerül.