בודק מטריצה חיובית מוגדרת

אודות מחשבון זה

עבור מטריצה סימטרית בגודל 2×2 הנכתבת בצורה [[a, b], [b, c]], ניתן לקרוא את סוג ההגדרות שלה — האם התבנית הריבועית שהיא מייצגת חיובית תמיד, שלילית תמיד או מעורבת — ישירות משני מספרים: האיבר המוביל a והדטרמיננטה, det = ac − b². לפי קריטריון סילבסטר ביישומו למקרה 2×2, המטריצה היא חיובית מוגדרת אם a גדול מ-0 והדטרמיננטה גדולה מ-0; חיובית חצי-מוגדרת אם a, c והדטרמיננטה כולם לפחות 0 (עם אפשרות לשוויון — יש לבדוק את שני איברי האלכסון, שכן המינורים המובילים לבדם אינם מכריעים חצי-מוגדרות), ושלילית חצי-מוגדרת היא המקרה המשקף; שלילית מוגדרת אם a קטן מ-0 והדטרמיננטה גדולה מ-0; ולא מוגדרת בכל מקרה שבו הדטרמיננטה שלילית, כלומר המטריצה מייצרת ערכים חיוביים ושליליים כאחד בהתאם לכיוון.

הסיווג הזה חשוב לאורך האלגברה הליניארית ויישומיה: באופטימיזציה, מטריצת ההסיאן של פונקציה בנקודה קריטית חייבת להיות חיובית מוגדרת כדי שהנקודה תהיה מינימום מקומי (שלילית מוגדרת עבור מקסימום מקומי, לא מוגדרת עבור נקודת אוכף); בסטטיסטיקה, מטריצת שונויות משותפות תקפה חייבת להיות חיובית חצי-מוגדרת; ובשיטות נומריות, היות המטריצה חיובית מוגדרת מבטיחה שקיימים פירוקי מטריצה מסוימים (כמו פירוק צ'ולסקי). המחשבון מקבל את האיברים a, b, c של מטריצה סימטרית בגודל 2×2 ומסווג אותה באמצעות המבחנים האלה, כשהוא בודק תחילה את מקרי ההגדרות הממש כדי שכל מטריצה תיפול בדיוק לקטגוריה אחת.