Провера позитивно одређене матрице

О овом калкулатору

За симетричну матрицу 2×2 записану као [[a, b], [b, c]], њена одређеност — да ли је квадратна форма коју представља увек позитивна, увек негативна или мешовита — може се прочитати непосредно из два броја: водећег елемента a и детерминанте, det = ac − b². По Силвестеровом критеријуму примењеном на случај 2×2, матрица је позитивно одређена ако је a веће од 0 и детерминанта већа од 0; позитивно полуодређена ако су a, c и детерминанта сви најмање 0 (уз допуштену једнакост — оба дијагонална елемента морају се проверити, јер водећи минори сами не разрешавају полуодређеност), док је негативно полуодређена случај у огледалу; негативно одређена ако је a мање од 0 и детерминанта већа од 0; и неодређена кад год је детерминанта негативна, што значи да матрица даје и позитивне и негативне вредности у зависности од правца.

Ова класификација је важна у линеарној алгебри и њеним применама: у оптимизацији, Хесеова матрица функције у критичној тачки мора бити позитивно одређена да би та тачка била локални минимум (негативно одређена за локални максимум, неодређена за седласту тачку); у статистици, исправна коваријациона матрица мора бити позитивно полуодређена; а у нумеричким методама, позитивна одређеност гарантује да постоје поједине декомпозиције матрице (попут декомпозиције Холецког). Овај калкулатор узима елементе a, b и c симетричне матрице 2×2 и класификује је помоћу ових провера, проверавајући прво случајеве строге одређености тако да свака матрица припадне тачно једној категорији.