Kontrola pozitívne definitnej matice

O tejto kalkulačke

Pri symetrickej matici 2×2 zapísanej ako [[a, b], [b, c]] možno jej definitnosť — teda či je kvadratická forma, ktorú predstavuje, vždy kladná, vždy záporná alebo zmiešaná — vyčítať priamo z dvoch čísel: z prvku a v ľavom hornom rohu a z determinantu, det = ac − b². Podľa Sylvestrovho kritéria aplikovaného na prípad 2×2 je matica pozitívne definitná, ak je a väčšie ako 0 a determinant je väčší ako 0; pozitívne semidefinitná, ak sú a, c aj determinant aspoň 0 (rovnosť je povolená — skontrolovať treba oba diagonálne prvky, keďže samotné vedúce minory semidefinitnosť nerozhodnú), pričom negatívne semidefinitná matica je zrkadlový prípad; negatívne definitná, ak je a menšie ako 0 a determinant je väčší ako 0; a indefinitná vždy, keď je determinant záporný, čo znamená, že matica dáva podľa smeru kladné aj záporné hodnoty.

Táto klasifikácia je dôležitá naprieč lineárnou algebrou a jej aplikáciami: v optimalizácii musí byť Hessova matica funkcie v kritickom bode pozitívne definitná na to, aby bol tento bod lokálnym minimom (negatívne definitná pre lokálne maximum, indefinitná pre sedlový bod); v štatistike musí byť platná kovariančná matica pozitívne semidefinitná; a v numerických metódach pozitívna definitnosť zaručuje, že určité maticové rozklady (napríklad Choleského rozklad) existujú. Táto kalkulačka vezme prvky a, b a c symetrickej matice 2×2 a klasifikuje ju pomocou týchto testov, pričom najprv kontroluje striktné definitné prípady, takže každá matica padne presne do jednej kategórie.