بررسی‌کننده ماتریس معین مثبت

درباره این ابزار

برای یک ماتریس متقارن 2×2 که به شکل [[a, b], [b, c]] نوشته می‌شود، معین‌بودن آن — اینکه فرم درجه دوم متناظرش همیشه مثبت، همیشه منفی، یا آمیخته باشد — را می‌توان مستقیماً از دو عدد خواند: درایه پیشرو a و دترمینان، det = ac − b². بنا بر معیار سیلوستر در حالت 2×2، ماتریس معین مثبت است اگر a بزرگ‌تر از ۰ و دترمینان بزرگ‌تر از ۰ باشد؛ نیمه‌معین مثبت است اگر a، c و دترمینان همگی دست‌کم ۰ باشند (تساوی مجاز است — هر دو درایه قطری باید بررسی شوند، چون کهادهای پیشرو به‌تنهایی نیمه‌معین‌بودن را تعیین نمی‌کنند)، و نیمه‌معین منفی حالت آینه‌ای آن است؛ معین منفی است اگر a کوچک‌تر از ۰ و دترمینان بزرگ‌تر از ۰ باشد؛ و هرگاه دترمینان منفی باشد نامعین است، یعنی ماتریس بسته به جهت، هم مقادیر مثبت و هم منفی تولید می‌کند.

این رده‌بندی در سراسر جبر خطی و کاربردهایش اهمیت دارد: در بهینه‌سازی، ماتریس هسین یک تابع در نقطه بحرانی باید معین مثبت باشد تا آن نقطه کمینه محلی شود (معین منفی برای بیشینه محلی، و نامعین برای نقطه زینی)؛ در آمار، یک ماتریس کوواریانس معتبر باید نیمه‌معین مثبت باشد؛ و در روش‌های عددی، معین مثبت بودن وجود برخی تجزیه‌های ماتریسی (مانند تجزیه چولسکی) را تضمین می‌کند. این ماشین‌حساب درایه‌های a، b و c یک ماتریس متقارن 2×2 را می‌گیرد و آن را با همین آزمون‌ها رده‌بندی می‌کند و نخست حالت‌های معین اکید را بررسی می‌کند تا هر ماتریس دقیقاً در یک رده قرار گیرد.