양의 정부호 행렬 검사기

이 계산기 정보

[[a, b], [b, c]]와 같이 적히는 2×2 대칭행렬의 정부호성, 다시 말해 그 행렬이 나타내는 이차형식이 언제나 양수인지, 언제나 음수인지, 아니면 둘이 섞여 나오는지는 단 두 개의 수, 즉 선행 성분 a와 행렬식 det = ac − b²만 보고 곧바로 읽어 낼 수 있습니다. 2×2인 경우에 실베스터 판정법을 적용하면, a가 0보다 크고 행렬식도 0보다 크면 그 행렬은 양의 정부호입니다. a와 c와 행렬식이 모두 0 이상이면(등호가 허용됩니다 — 선행 소행렬식만으로는 준정부호성이 가려지지 않으므로 두 대각 성분을 모두 확인해야 합니다) 양의 준정부호이며, 음의 준정부호는 이를 뒤집은 경우입니다. a가 0보다 작고 행렬식이 0보다 크면 음의 정부호입니다. 그리고 행렬식이 음수이기만 하면 언제나 부정부호이며, 이는 방향에 따라 그 행렬이 양의 값과 음의 값을 모두 만들어 낸다는 뜻입니다.

이러한 분류는 선형대수와 그 응용 전반에 걸쳐 중요합니다. 최적화에서는 임계점에서 함수의 헤세 행렬이 양의 정부호여야 그 점이 국소 최솟값이 되고(국소 최댓값이려면 음의 정부호, 안장점이려면 부정부호여야 합니다), 통계학에서는 타당한 공분산행렬이라면 반드시 양의 준정부호여야 하며, 수치해석에서는 양의 정부호성이 촐레스키 분해와 같은 특정한 행렬 분해가 존재함을 보장해 줍니다. 이 계산기는 2×2 대칭행렬의 성분 a, b, c를 입력받아 이러한 판정을 이용해 그 행렬을 분류하며, 엄격한 정부호 경우를 먼저 확인하여 모든 행렬이 정확히 하나의 범주에만 들어가도록 합니다.