Kontroll av positivt definit matris

Om denna kalkylator

För en symmetrisk 2×2-matris skriven som [[a, b], [b, c]] kan dess definithet — om den kvadratiska form den representerar alltid är positiv, alltid negativ eller blandad — läsas direkt ur två tal: det ledande elementet a och determinanten, det = ac − b². Enligt Sylvesters kriterium tillämpat på 2×2-fallet är matrisen positivt definit om a är större än 0 och determinanten är större än 0; positivt semidefinit om a, c och determinanten alla är minst 0 (likhet tillåten — båda diagonalelementen måste kontrolleras, eftersom ledande minorer ensamma inte avgör semidefinithet), med negativt semidefinit som det spegelvända fallet; negativt definit om a är mindre än 0 och determinanten är större än 0; och indefinit så snart determinanten är negativ, vilket betyder att matrisen ger både positiva och negativa värden beroende på riktning.

Den här klassificeringen har betydelse inom hela linjära algebran och dess tillämpningar: inom optimering måste en funktions hessianmatris i en kritisk punkt vara positivt definit för att punkten ska vara ett lokalt minimum (negativt definit för ett lokalt maximum, indefinit för en sadelpunkt); inom statistik måste en giltig kovariansmatris vara positivt semidefinit; och inom numeriska metoder garanterar positiv definithet att vissa matrisfaktoriseringar (som Choleskyfaktoriseringen) existerar. Kalkylatorn utgår från elementen a, b och c i en symmetrisk 2×2-matris och klassificerar den med dessa test, där de strikt definita fallen kontrolleras först så att varje matris hamnar i exakt en kategori.