Sprawdzanie macierzy dodatnio określonej

O tym kalkulatorze

Dla symetrycznej macierzy 2×2 zapisanej jako [[a, b], [b, c]] jej określoność — to, czy reprezentowana przez nią forma kwadratowa jest zawsze dodatnia, zawsze ujemna, czy mieszana — daje się odczytać wprost z dwóch liczb: elementu wiodącego a oraz wyznacznika, det = ac − b². Zgodnie z kryterium Sylvestera zastosowanym do przypadku 2×2 macierz jest dodatnio określona, jeśli a jest większe od 0 i wyznacznik jest większy od 0; dodatnio półokreślona, jeśli a, c oraz wyznacznik są wszystkie nie mniejsze niż 0 (równość dopuszczalna — sprawdzić trzeba oba elementy diagonalne, ponieważ same minory wiodące nie rozstrzygają półokreśloności), przy czym ujemna półokreśloność jest przypadkiem lustrzanym; ujemnie określona, jeśli a jest mniejsze od 0, a wyznacznik większy od 0; oraz nieokreślona, ilekroć wyznacznik jest ujemny, co oznacza, że macierz przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne, zależnie od kierunku.

Ta klasyfikacja ma znaczenie w całej algebrze liniowej i jej zastosowaniach: w optymalizacji macierz Hessego funkcji w punkcie krytycznym musi być dodatnio określona, aby punkt ten był minimum lokalnym (ujemnie określona dla maksimum lokalnego, nieokreślona dla punktu siodłowego); w statystyce poprawna macierz kowariancji musi być dodatnio półokreślona; a w metodach numerycznych dodatnia określoność gwarantuje istnienie pewnych rozkładów macierzy (takich jak rozkład Choleskiego). Ten kalkulator przyjmuje elementy a, b i c symetrycznej macierzy 2×2 i klasyfikuje ją za pomocą tych testów, sprawdzając najpierw przypadki ściśle określone, tak aby każda macierz trafiła dokładnie do jednej kategorii.