Vérificateur de matrice définie positive

À propos de ce calculateur

Pour une matrice symétrique 2×2 écrite [[a, b], [b, c]], sa définition — le fait que la forme quadratique qu'elle représente soit toujours positive, toujours négative ou de signe variable — se lit directement sur deux nombres : le terme dominant a et le déterminant, det = ac − b². D'après le critère de Sylvester appliqué au cas 2×2, la matrice est définie positive si a est supérieur à 0 et le déterminant supérieur à 0 ; semi-définie positive si a, c et le déterminant sont tous supérieurs ou égaux à 0 (l'égalité étant admise — les deux termes diagonaux doivent être vérifiés, car les mineurs dominants seuls ne suffisent pas à trancher la semi-définition), le cas semi-défini négatif étant symétrique ; définie négative si a est inférieur à 0 et le déterminant supérieur à 0 ; et indéfinie dès que le déterminant est négatif, ce qui signifie que la matrice produit des valeurs à la fois positives et négatives selon la direction.

Cette classification est importante en algèbre linéaire et dans ses applications : en optimisation, la matrice hessienne d'une fonction en un point critique doit être définie positive pour que ce point soit un minimum local (définie négative pour un maximum local, indéfinie pour un point-selle) ; en statistique, une matrice de covariance valide doit être semi-définie positive ; et en analyse numérique, le caractère défini positif garantit l'existence de certaines décompositions matricielles (comme la décomposition de Cholesky). Ce calculateur prend les coefficients a, b et c d'une matrice symétrique 2×2 et la classe à l'aide de ces tests, en vérifiant d'abord les cas strictement définis afin que chaque matrice relève d'exactement une catégorie.