Verificador de matriz definida positiva

Sobre esta calculadora

Para uma matriz simétrica 2×2 escrita como [[a, b], [b, c]], sua definição — se a forma quadrática que representa é sempre positiva, sempre negativa ou mista — pode ser lida diretamente a partir de dois números: a entrada principal a e o determinante, det = ac − b². Pelo critério de Sylvester aplicado ao caso 2×2, a matriz é definida positiva se a for maior que 0 e o determinante for maior que 0; semidefinida positiva se a, c e o determinante forem todos pelo menos 0 (admitindo-se a igualdade — é preciso verificar as duas entradas da diagonal, já que os menores principais líderes não bastam para decidir a semidefinição), sendo a semidefinida negativa o caso espelhado; definida negativa se a for menor que 0 e o determinante for maior que 0; e indefinida sempre que o determinante for negativo, o que significa que a matriz produz valores positivos e negativos consoante a direção.

Esta classificação é importante em toda a álgebra linear e nas suas aplicações: em otimização, a matriz hessiana de uma função num ponto crítico tem de ser definida positiva para que esse ponto seja um mínimo local (definida negativa para um máximo local, indefinida para um ponto de sela); em estatística, uma matriz de covariância válida tem de ser semidefinida positiva; e nos métodos numéricos, a definição positiva garante que certas decomposições matriciais (como a decomposição de Cholesky) existem. Esta calculadora recebe as entradas a, b e c de uma matriz simétrica 2×2 e classifica-a com estes testes, verificando primeiro os casos estritamente definidos, para que cada matriz caia exatamente numa categoria.