Verificatore di matrice definita positiva

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Per una matrice simmetrica 2×2 scritta come [[a, b], [b, c]], la sua definitezza — ossia se la forma quadratica che rappresenta sia sempre positiva, sempre negativa o mista — si legge direttamente da due soli numeri: l'elemento iniziale a e il determinante, det = ac − b². Applicando il criterio di Sylvester al caso 2×2, la matrice è definita positiva se a è maggiore di 0 e il determinante è maggiore di 0; semidefinita positiva se a, c e il determinante sono tutti almeno 0 (uguaglianza ammessa: vanno controllati entrambi gli elementi diagonali, poiché i minori principali di testa da soli non decidono la semidefinitezza), con il caso speculare per la semidefinita negativa; definita negativa se a è minore di 0 e il determinante è maggiore di 0; e indefinita ogni volta che il determinante è negativo, il che significa che la matrice produce valori sia positivi sia negativi a seconda della direzione.

Questa classificazione conta in tutta l'algebra lineare e nelle sue applicazioni: in ottimizzazione, la matrice hessiana di una funzione in un punto critico deve essere definita positiva perché quel punto sia un minimo locale (definita negativa per un massimo locale, indefinita per un punto di sella); in statistica, una matrice di covarianza valida deve essere semidefinita positiva; e nei metodi numerici la definitezza positiva garantisce l'esistenza di certe decomposizioni matriciali (come la decomposizione di Cholesky). Questo calcolatore prende gli elementi a, b e c di una matrice simmetrica 2×2 e la classifica con questi test, verificando per primi i casi strettamente definiti, così che ogni matrice ricada in esattamente una categoria.