Перевірка додатно визначеної матриці

Про цей калькулятор

Для симетричної матриці 2×2, записаної як [[a, b], [b, c]], її визначеність — тобто чи є квадратична форма, яку вона задає, завжди додатною, завжди від'ємною чи змішаною — можна прочитати безпосередньо з двох чисел: провідного елемента a та визначника, det = ac − b². За критерієм Сильвестра, застосованим до випадку 2×2, матриця є додатно визначеною, якщо a більше за 0 і визначник більший за 0; додатно напіввизначеною, якщо a, c і визначник усі не менші за 0 (рівність допускається — перевіряти треба обидва діагональні елементи, оскільки самі лише провідні мінори не встановлюють напіввизначеності), а від'ємно напіввизначеною — у дзеркальному випадку; від'ємно визначеною, якщо a менше за 0, а визначник більший за 0; і невизначеною щоразу, коли визначник від'ємний, тобто матриця дає і додатні, і від'ємні значення залежно від напрямку.

Ця класифікація важлива в лінійній алгебрі та її застосуваннях: в оптимізації матриця Гессе функції в критичній точці має бути додатно визначеною, щоб ця точка була локальним мінімумом (від'ємно визначеною — для локального максимуму, невизначеною — для сідлової точки); у статистиці коректна коваріаційна матриця має бути додатно напіввизначеною; а в чисельних методах додатна визначеність гарантує існування певних розкладів матриці (як-от розклад Холецького). Цей калькулятор бере елементи a, b і c симетричної матриці 2×2 та класифікує її за цими перевірками, розглядаючи спершу випадки строгої визначеності, тож кожна матриця потрапляє рівно до однієї категорії.