Prüfer für positiv definite Matrizen

Über diesen Rechner

Bei einer symmetrischen 2×2-Matrix der Form [[a, b], [b, c]] lässt sich die Definitheit – ob die zugehörige quadratische Form stets positiv, stets negativ oder gemischt ist – direkt an zwei Zahlen ablesen: am führenden Eintrag a und an der Determinante det = ac − b². Nach dem auf den 2×2-Fall angewandten Sylvester-Kriterium ist die Matrix positiv definit, wenn a größer als 0 und die Determinante größer als 0 ist; positiv semidefinit, wenn a, c und die Determinante alle mindestens 0 sind (Gleichheit ist erlaubt – beide Diagonaleinträge müssen geprüft werden, da die führenden Hauptminoren allein die Semidefinitheit nicht entscheiden), wobei negativ semidefinit der gespiegelte Fall ist; negativ definit, wenn a kleiner als 0 und die Determinante größer als 0 ist; und indefinit, sobald die Determinante negativ ist, die Matrix also je nach Richtung sowohl positive als auch negative Werte annimmt.

Diese Klassifikation ist in der linearen Algebra und ihren Anwendungen von Bedeutung: In der Optimierung muss die Hesse-Matrix einer Funktion in einem kritischen Punkt positiv definit sein, damit dort ein lokales Minimum vorliegt (negativ definit für ein lokales Maximum, indefinit für einen Sattelpunkt); in der Statistik muss eine gültige Kovarianzmatrix positiv semidefinit sein; und in der Numerik garantiert positive Definitheit, dass bestimmte Matrixzerlegungen (etwa die Cholesky-Zerlegung) existieren. Dieser Rechner nimmt die Einträge a, b und c einer symmetrischen 2×2-Matrix und klassifiziert sie anhand dieser Tests, wobei er die strikten definiten Fälle zuerst prüft, sodass jede Matrix in genau eine Kategorie fällt.