Проверка положительно определённой матрицы

Об этом калькуляторе

Для симметричной матрицы 2×2, записанной как [[a, b], [b, c]], её знакоопределённость — всегда ли представляемая ею квадратичная форма положительна, всегда отрицательна или знакопеременна — читается напрямую по двум числам: ведущему элементу a и определителю det = ac − b². По критерию Сильвестра в применении к случаю 2×2 матрица положительно определена, если a больше 0 и определитель больше 0; положительно полуопределена, если a, c и определитель все не меньше 0 (равенство допускается — проверять нужно оба диагональных элемента, поскольку одни лишь ведущие миноры не решают вопрос полуопределённости), а отрицательная полуопределённость является зеркальным случаем; отрицательно определена, если a меньше 0, а определитель больше 0; и неопределена всякий раз, когда определитель отрицателен, то есть матрица даёт и положительные, и отрицательные значения в зависимости от направления.

Эта классификация важна во всей линейной алгебре и её приложениях: в оптимизации матрица Гессе функции в критической точке должна быть положительно определённой, чтобы точка была локальным минимумом (отрицательно определённой — для локального максимума, неопределённой — для седловой точки); в статистике корректная ковариационная матрица обязана быть положительно полуопределённой; а в численных методах положительная определённость гарантирует существование некоторых разложений матрицы (например, разложения Холецкого). Калькулятор принимает элементы a, b и c симметричной матрицы 2×2 и классифицирует её по этим критериям, проверяя сначала строгие случаи знакоопределённости, чтобы каждая матрица попадала ровно в одну категорию.