Verificator de matrice pozitiv definită

Despre acest calculator

Pentru o matrice simetrică 2×2 scrisă ca [[a, b], [b, c]], caracterul definit — dacă forma pătratică pe care o reprezintă este întotdeauna pozitivă, întotdeauna negativă sau mixtă — poate fi citit direct din două numere: elementul principal a și determinantul, det = ac − b². Conform criteriului lui Sylvester aplicat cazului 2×2, matricea este pozitiv definită dacă a este mai mare decât 0 și determinantul este mai mare decât 0; pozitiv semidefinită dacă a, c și determinantul sunt toate cel puțin 0 (fiind permisă egalitatea — ambele elemente de pe diagonală trebuie verificate, întrucât minorii principali singuri nu stabilesc caracterul semidefinit), cazul negativ semidefinit fiind oglinda acestuia; negativ definită dacă a este mai mic decât 0 și determinantul este mai mare decât 0; și nedefinită ori de câte ori determinantul este negativ, ceea ce înseamnă că matricea produce atât valori pozitive, cât și negative, în funcție de direcție.

Această clasificare contează în toată algebra liniară și în aplicațiile ei: în optimizare, matricea hessiană a unei funcții într-un punct critic trebuie să fie pozitiv definită pentru ca acel punct să fie un minim local (negativ definită pentru un maxim local, nedefinită pentru un punct-șa); în statistică, o matrice de covarianță validă trebuie să fie pozitiv semidefinită; iar în metodele numerice, caracterul pozitiv definit garantează că anumite descompuneri matriceale (precum descompunerea Cholesky) există. Acest calculator preia elementele a, b și c ale unei matrice simetrice 2×2 și o clasifică folosind aceste teste, verificând mai întâi cazurile strict definite, astfel încât fiecare matrice să se încadreze în exact o categorie.