Pozitīvi definītas matricas pārbaude

Par šo kalkulatoru

Simetriskai 2×2 matricai, ko pieraksta kā [[a, b], [b, c]], tās definitumu — vai kvadrātiskā forma, ko tā attēlo, vienmēr ir pozitīva, vienmēr negatīva vai jaukta — var nolasīt tieši no diviem skaitļiem: vadošā elementa a un determinanta, det = ac − b². Pēc Silvestra kritērija, piemērota 2×2 gadījumam, matrica ir pozitīvi definīta, ja a ir lielāks par 0 un determinants ir lielāks par 0; pozitīvi semidefinīta, ja a, c un determinants visi ir vismaz 0 (pieļaujot vienādību — jāpārbauda abi diagonāles elementi, jo vadošie minori vien semidefinitumu neizšķir), un negatīvi semidefinīta ir spoguļattēls šim gadījumam; negatīvi definīta, ja a ir mazāks par 0 un determinants ir lielāks par 0; un nedefinīta ikreiz, kad determinants ir negatīvs, kas nozīmē, ka matrica atkarībā no virziena dod gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības.

Šī klasifikācija ir svarīga visā lineārajā algebrā un tās lietojumos: optimizācijā funkcijas Hesa matricai kritiskajā punktā jābūt pozitīvi definītai, lai šis punkts būtu lokālais minimums (negatīvi definītai lokālajam maksimumam, nedefinītai sedla punktam); statistikā derīgai kovariācijas matricai jābūt pozitīvi semidefinītai; un skaitliskajās metodēs pozitīvs definitums garantē, ka pastāv noteikti matricu sadalījumi (piemēram, Holecka sadalījums). Šis kalkulators ņem simetriskas 2×2 matricas elementus a, b un c un klasificē to ar šiem testiem, vispirms pārbaudot stingrā definituma gadījumus, lai katra matrica nonāktu tieši vienā kategorijā.