Sjekk av positivt definitt matrise

Om denne kalkulatoren

For en symmetrisk 2×2-matrise skrevet som [[a, b], [b, c]] kan definittheten — om kvadratformen den representerer alltid er positiv, alltid negativ, eller blandet — leses direkte av to tall: det ledende elementet a og determinanten, det = ac − b². Ved Sylvesters kriterium anvendt på 2×2-tilfellet er matrisen positivt definitt hvis a er større enn 0 og determinanten er større enn 0; positivt semidefinitt hvis a, c og determinanten alle er minst 0 (med likhet tillatt — begge diagonalelementene må sjekkes, siden ledende minorer alene ikke avgjør semidefinittheten), med negativt semidefinitt som det speilvendte tilfellet; negativt definitt hvis a er mindre enn 0 og determinanten er større enn 0; og indefinitt når determinanten er negativ, noe som betyr at matrisen gir både positive og negative verdier avhengig av retning.

Denne klassifiseringen er viktig på tvers av lineær algebra og anvendelsene av den: i optimering må Hesse-matrisen til en funksjon i et kritisk punkt være positivt definitt for at punktet skal være et lokalt minimum (negativt definitt for et lokalt maksimum, indefinitt for et sadelpunkt); i statistikk må en gyldig kovariansmatrise være positivt semidefinitt; og i numeriske metoder garanterer positiv definitthet at visse matrisedekomposisjoner (som Cholesky-dekomposisjonen) finnes. Denne kalkulatoren tar elementene a, b og c i en symmetrisk 2×2-matrise og klassifiserer den ved hjelp av disse testene, der de strengt definitte tilfellene sjekkes først slik at hver matrise havner i nøyaktig én kategori.