Trình kiểm tra ma trận xác định dương

Giới thiệu về công cụ này

Với một ma trận đối xứng 2×2 viết dưới dạng [[a, b], [b, c]], tính xác định của nó — tức dạng toàn phương mà nó biểu diễn luôn dương, luôn âm hay hỗn hợp — có thể đọc trực tiếp từ hai con số: phần tử dẫn đầu a và định thức, det = ac − b². Theo tiêu chuẩn Sylvester áp dụng cho trường hợp 2×2, ma trận là xác định dương nếu a lớn hơn 0 và định thức lớn hơn 0; nửa xác định dương nếu a, c và định thức đều không nhỏ hơn 0 (cho phép dấu bằng — phải kiểm tra cả hai phần tử đường chéo, vì riêng các định thức con dẫn đầu không đủ để kết luận về tính nửa xác định), với nửa xác định âm là trường hợp đối xứng; xác định âm nếu a nhỏ hơn 0 và định thức lớn hơn 0; và không xác định mỗi khi định thức âm, nghĩa là ma trận cho ra cả giá trị dương lẫn giá trị âm tùy theo hướng.

Cách phân loại này quan trọng trong đại số tuyến tính và các ứng dụng của nó: trong tối ưu hóa, ma trận Hesse của một hàm tại điểm dừng phải xác định dương thì điểm đó mới là cực tiểu địa phương (xác định âm cho cực đại địa phương, không xác định cho điểm yên ngựa); trong thống kê, một ma trận hiệp phương sai hợp lệ phải nửa xác định dương; và trong các phương pháp số, tính xác định dương bảo đảm sự tồn tại của một số phép phân rã ma trận (như phân rã Cholesky). Công cụ này nhận vào các phần tử a, b và c của một ma trận đối xứng 2×2 rồi phân loại nó bằng các phép kiểm tra trên, xét các trường hợp xác định chặt trước để mọi ma trận rơi vào đúng một loại.