Controle positief-definiete matrix

Over deze rekenmachine

Voor een symmetrische 2×2-matrix geschreven als [[a, b], [b, c]] is de definietheid — of de kwadratische vorm die zij voorstelt altijd positief, altijd negatief of gemengd is — rechtstreeks af te lezen uit twee getallen: het eerste element a en de determinant, det = ac − b². Volgens het criterium van Sylvester, toegepast op het 2×2-geval, is de matrix positief definiet als a groter is dan 0 en de determinant groter is dan 0; positief semidefiniet als a, c en de determinant alle ten minste 0 zijn (gelijkheid toegestaan — beide diagonaalelementen moeten worden gecontroleerd, omdat de hoofdminoren op zichzelf de semidefinietheid niet vastleggen), met negatief semidefiniet als gespiegeld geval; negatief definiet als a kleiner is dan 0 en de determinant groter is dan 0; en indefiniet zodra de determinant negatief is, wat betekent dat de matrix afhankelijk van de richting zowel positieve als negatieve waarden oplevert.

Deze indeling is van belang in de hele lineaire algebra en haar toepassingen: bij optimalisatie moet de Hesse-matrix van een functie in een kritiek punt positief definiet zijn om dat punt een lokaal minimum te laten zijn (negatief definiet voor een lokaal maximum, indefiniet voor een zadelpunt); in de statistiek moet een geldige covariantiematrix positief semidefiniet zijn; en in numerieke methoden garandeert positieve definietheid dat bepaalde matrixontbindingen (zoals de Cholesky-ontbinding) bestaan. Deze calculator neemt de elementen a, b en c van een symmetrische 2×2-matrix en deelt haar in met deze toetsen, waarbij eerst de strikt definiete gevallen worden gecontroleerd zodat elke matrix in precies één categorie valt.