Provjera pozitivno definitne matrice

O ovom kalkulatoru

Za simetričnu matricu 2×2 zapisanu kao [[a, b], [b, c]], njezina definitnost — je li kvadratna forma koju predstavlja uvijek pozitivna, uvijek negativna ili mješovita — može se očitati izravno iz dvaju brojeva: vodećeg elementa a i determinante, det = ac − b². Prema Sylvesterovu kriteriju primijenjenom na slučaj 2×2, matrica je pozitivno definitna ako je a veći od 0 i determinanta veća od 0; pozitivno semidefinitna ako su a, c i determinanta svi najmanje 0 (uz dopuštenu jednakost — moraju se provjeriti oba dijagonalna elementa jer vodeće minore same ne razrješavaju semidefinitnost), a negativno semidefinitna je zrcalni slučaj; negativno definitna ako je a manji od 0 i determinanta veća od 0; te indefinitna kad god je determinanta negativna, što znači da matrica daje i pozitivne i negativne vrijednosti ovisno o smjeru.

Ta je klasifikacija važna u cijeloj linearnoj algebri i njezinim primjenama: u optimizaciji Hesseova matrica funkcije u kritičnoj točki mora biti pozitivno definitna da bi ta točka bila lokalni minimum (negativno definitna za lokalni maksimum, indefinitna za sedlastu točku); u statistici valjana kovarijacijska matrica mora biti pozitivno semidefinitna; a u numeričkim metodama pozitivna definitnost jamči da određene dekompozicije matrice (poput Choleskyjeve dekompozicije) postoje. Ovaj kalkulator uzima elemente a, b i c simetrične matrice 2×2 i klasificira ju pomoću tih testova, provjeravajući najprije stroge definitne slučajeve tako da svaka matrica završi u točno jednoj kategoriji.