ماشین‌حساب قطری‌سازی ماتریس

درباره این ابزار

قطری‌سازی یک ماتریس ۲×۲ یعنی نوشتن آن به شکل A = PDP⁻¹، که در آن D ماتریس قطری مقدارهای ویژهٔ A و ستون‌های P بردارهای ویژهٔ متناظر هستند. این ماشین‌حساب مقدارهای ویژه را با حل معادلهٔ مشخصه det(A − λI) = 0 (برای ماتریس ۲×۲ یک معادلهٔ درجه دو) می‌یابد، بردار ویژهٔ هر مقدار ویژه را با حل (A − λI)v = 0 پیدا می‌کند و دو مقدار ویژه (قطر D)، بردارهای ویژهٔ آن‌ها (ستون‌های P) و دترمینان را نشان می‌دهد. وقتی ماتریس روی اعداد حقیقی قطری‌پذیر نباشد — مقدارهای ویژه‌اش مختلط باشند، یا مقدار ویژهٔ تکراری به‌قدر کافی بردار ویژهٔ مستقل نداشته باشد — هیچ نتیجه‌ای نشان داده نمی‌شود.

دانشجویان و مهندسان جبر خطی ماتریس‌ها را قطری می‌کنند چون عملیات تکراری را بدیهی می‌کند — محاسبهٔ Aⁿ به PDⁿP⁻¹ تقلیل می‌یابد، که در آن به توان رساندن ماتریس قطری فقط یعنی به توان رساندن هر درایهٔ قطر — و دقیقاً به همین ترتیب جواب‌های بسته برای رابطه‌های بازگشتی خطی (مانند دنبالهٔ فیبوناچی) و دستگاه‌های معادلات دیفرانسیل خطی به دست می‌آیند، و گامی اصلی در تحلیل مؤلفه‌های اصلی و تحلیل ارتعاش/مودهای ویژه در مهندسی مکانیک است.