מחשבון הסתברות איחוד וחיתוך

אודות מחשבון זה

כלל החיבור בהסתברות קובע כי P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B): כדי למצוא את ההסתברות שמאורע A או מאורע B (או שניהם) מתרחש, מחברים את ההסתברויות הפרטיות שלהם ואז מחסרים את החפיפה, משום שאחרת החפיפה הזו הייתה נספרת פעמיים. הכלל הזה הוא אחת התוצאות הלא טריוויאליות הראשונות שנלמדות בכל קורס בהסתברות או בסטטיסטיקה, והוא מכליל את כלל החיבור הפשוט יותר המשמש למאורעות זרים (שבהם P(A ∩ B) = 0).

מעבר לכיתת הלימוד, הקשר בין איחוד לחיתוך עומד בבסיסם של חישובי סיכון ואמינות אמיתיים: אנליסט ביטוח שאומד את הסיכוי שתביעה כרוכה בנזקי אש או בנזקי מים צריך לחסר את החפיפה שבה שניהם התרחשו; מהנדס איכות שאומד את ההסתברות שמוצר נכשל במבחן A או במבחן B משתמש באותו תיקון; משווקים שמנתחים פלחי לקוחות שקנו את מוצר A או את מוצר B נשענים עליו כדי להימנע מספירה כפולה של לקוחות משותפים. ברגע שידוע P(A∪B), ההסתברויות של "רק A" ושל "רק B" — P(A) − P(A∩B) וכן P(B) − P(A∩B) — מתארות את החלקים של כל מאורע שאינם חופפים.

המחשבון מקבל את P(A), את P(B) ואת P(A∩B) כקלטים ומחזיר מיד את P(A∪B) יחד עם הפירוט של "רק A" ושל "רק B", כך שלא תצטרכו לבצע את האלגברה ביד בכל פעם.