HesapHanem

İntegral Çarpanı Hesaplama

İntegral çarpanını hesaplamak için sabit katsayı P ve bir x değeri girin.

Nasıl hesaplanır?

Birinci mertebeden doğrusal y′ + P·y = Q(x) denklemi için integral çarpanı μ(x) = e^(∫P dx) ifadesidir. Bu araç, P'nin sabit bir p sayısı olduğu durumu ele alır; böylece integral yalnızca p·x olur ve μ = e^(p·x) bulunur. p ile x noktasını girersiniz. Araç, üssü p·x dört ondalıkla, μ değerini ise altı ondalıkla yazar. Sağ taraf Q(x) gerekmez, çünkü μ yalnızca P'ye bağlıdır. İntegral sabiti yazılmaz ve bu serbesttir: herhangi bir sabit μ'yü yalnızca bir sayıyla çarpar, nihai çözüm değişmez. Çok büyük bir üs taşar ve μ için ∞ gösterilir, çok küçük (çok negatif) üs ise 0,000000 verir.

Örnek hesaplama

y′ + 3y = Q(x) denklemini alalım; p = 3. Çarpanı x = 0,5 noktasında hesaplayalım. Üs: p·x = 3 × 0,5 = 1,5000. İntegral çarpanı: μ = e^1,5 = 4,481689. Denklemin tamamını μ(x) = e^(3x) ile çarpmak sol tarafı tek bir türev olan (e^(3x)·y)′ haline getirir; yöntemin işe yaramasının nedeni budur. p = −0,5 ve x = 4 için üs −2,0000, μ ise 0,135335 olur.

Bu örneği dene →

Sık yapılan hatalar

  • Denklem standart biçimde değilken y'nin katsayısının tamamını girmek: önce y′'nün katsayısı 1 olacak şekilde bölün, çünkü P bu bölmeden sonraki y katsayısıdır.
  • p'nin işaretini yanlış almak; y′ − 2y = Q için girilecek değer −2'dir ve çarpan büyüyen değil azalan çıkar.
  • P, x'e bağlı olduğunda (örneğin P = 1/x veya P = 2x) aracı kullanmak: araç sabit p varsayar, gerçek çarpan (x ya da e^(x²) gibi) bununla uyuşmaz.
  • y(x) çözümünü beklemek; araç yalnızca tek bir noktada μ çarpanını verir, μ·Q'nun integralini yine sizin almanız gerekir.
  • Eksik integral sabitinin sonucu değiştireceğini sanmak; değiştirmez, ∞ ya da 0,000000 çıktısı ise üssün gösterilemeyecek kadar büyük ya da küçük olduğu anlamına gelir.

Bu hesaplama hakkında

dy/dx + Py = Q biçimindeki birinci dereceden doğrusal bir ADD (adi diferansiyel denklem) için, her iki tarafı integral çarpanı μ = e^(∫P dx) ile çarpmak, sol tarafı tam türev d/dx(μy) hâline getirir; bu da doğrudan integre edilerek y için çözülebilir. P sabit olduğunda integral μ = e^(Px) şeklinde sadeleşir ve girdiğiniz x değerinde hesaplanır.

Bazen Leibniz'e atfedilen bu yöntem, doğrusal (ama mutlaka ayrılabilir olması gerekmeyen) birinci dereceden denklemleri çözmek için diferansiyel denklemler derslerinde öğretilen standart tekniktir ve devre analizi (RC/RL şarj eğrileri), sabit hasat oranlı popülasyon büyümesi ve Newton'un soğuma yasası gibi modellerin temelini oluşturur. Öğrenciler ve mühendisler, elle çözümün geri kalanına geçmeden önce belirli bir sabit katsayı için integral çarpanını doğrulamak amacıyla bu hesaplayıcıyı kullanır.

Bu faydalı oldu mu?

En fazla 3 tepki seçebilirsiniz.

Yorumlar (1)

  • Editör ekibi

    Bu sayfa yalnızca sabit bir p katsayısını ele alır; integral basitçe p çarpı x olur. Denkleminizde x'e bağlı değişen bir P varsa, örneğin 2/x ya da cos x, önce P'yi kendiniz integre etmeniz gerekir ve buradaki üs sizinkiyle uyuşmaz. Kısa bir doğrulama: çarpan her zaman pozitiftir ve x sıfır olduğunda 1'e eşittir. Sırada hangi P(x) biçimlerinin desteklenmesini isterdiniz?

Popüler hesaplayıcılar

Kredi Hesaplama

Aylık taksit, toplam faiz ve ödeme planını hesaplayın.

Yüzde Hesaplama

Yüzde değişim, indirim ve oran hesaplamaları.

İndirim Hesaplama

İndirimli fiyatı, kazancı ve indirim tutarını hesaplayın.

Vücut Kitle Endeksi (VKİ)

Boy ve kiloya göre vücut kitle endeksini hesaplayın.

Yaş Hesaplama

Doğum tarihinden bugüne tam yıl, ay ve gün cinsinden yaşınızı hesaplayın.

Bileşik Faiz Hesaplama

Ana para, faiz oranı ve süreye göre bileşik faizle nihai tutarı hesaplayın.

Tüm Hesaplayıcılar