HesapHanem

Euler Yöntemi Hesaplama

Euler yöntemini çalıştırmak için a, b, başlangıç noktasını, adım boyunu ve adım sayısını girin.

Nasıl hesaplanır?

Araç yalnızca y′ = a·x + b·y doğrusal denklemini çözer; a ve b sabitlerini siz yazarsınız. (x0, y0) noktasından başlayarak yn+1 = yn + h × (a·xn + b·yn) ve xn+1 = xn + h adımlarını tekrarlar; burada h adım boyu, n adım sayısıdır. Adım boyu sıfırdan büyük olmalı, n tam sayıya yuvarlanır ve 1 ile 10.000 arasında olmalıdır. Okunabilirlik için tabloda yalnızca 0, 1, 2. adımlar ve son adım, arada üç nokta ile gösterilir; ardından son nokta verilir. Değerler dört ondalıkla yazılır. Sonuç bir yaklaşımdır; hata h ve adım sayısıyla büyür.

Örnek hesaplama

a = 1, b = 1 ile y′ = x + y denklemini, x = 0, y = 1 başlangıcından h = 0,1 ve 10 adımla çözelim. 1. adım: eğim = 0 + 1 = 1, yani y = 1 + 0,1 × 1 = 1,1 ve x = 0,1. 2. adım: eğim = 0,1 + 1,1 = 1,2, yani y = 1,1 + 0,12 = 1,22. 10. adıma kadar devam edince x = 1,0000, y = 3,1875 bulunur. Kesin çözüm y = 2ex − x − 1, x = 1'de 3,4366 verir; yani bu adım boyuyla Euler yaklaşık 0,25 az tahmin eder.

Bu örneği dene →

Sık yapılan hatalar

  • Aracı başka biçimli bir denklem için kullanmak, örneğin y′ = x·y veya y′ = y². Yalnızca a·x + b·y doğrusal biçimi desteklenir; doğrusal olmayan sağ taraf girilemez.
  • Adım sayısı yerine x'in bitiş değerini girmek. 0'dan 2'ye h = 0,1 ile ulaşmak istiyorsanız n = 20 girin, 2 değil.
  • Çok büyük adım boyu seçmek. h büyükse eğri kesin çözümden çok uzaklaşabilir; b negatifken salınabilir ya da patlayabilir. h'yi yarıya indirip karşılaştırın.
  • Tabloda her adımı görmeyi beklemek. Araç yalnızca ilk iki ve son adımı yazar; ara bir değer için n'yi değiştirip yeniden çalıştırın.

Bu hesaplama hakkında

Euler yöntemi, kapalı formda bir çözüm bulunmadığında veya pratik olmadığında bir adi diferansiyel denklemin çözümünü yaklaşık olarak bulmak için kullanılan en basit sayısal tekniktir. Bilinen bir başlangıç noktasına sahip y′ = a·x + b·y biçimindeki lineer bir ADD için, y_{n+1} = y_n + h·(a·x_n + b·y_n) kullanılarak h büyüklüğünde küçük adımlarla ilerler — her adımda, mevcut türevin verdiği teğet doğrusunu bir adım boyunca izler, ardından eğimi yeni noktada yeniden hesaplar.

Bu hesaplayıcı, yaklaşımın nasıl geliştiğini görebilmeniz için tam adım adım tabloyu, son tahmini noktayla birlikte oluşturur. Euler yönteminin adım başına yerel kesme hatası O(h²), global hatası ise O(h)'dır; yani adım boyunu yarıya indirmek toplam hatayı kabaca yarıya indirir — pratikte yüksek hassasiyet gerektiren işlerde nadiren kullanılır (Runge-Kutta 4 gibi daha isabetli yöntemler tercih edilir), ancak sayısal analizde öğretilen standart ilk algoritma olmaya devam eder; çünkü sayısal ADD çözümünün temel fikrini — eğriyi kendi eğimini kullanarak, her seferinde küçük bir adım ilerleyerek yaklaşık bulmayı — tamamen şeffaf hale getirir.

Bu faydalı oldu mu?

En fazla 3 tepki seçebilirsiniz.

Yorumlar (1)

  • Editör ekibi

    Adımı yarıya indirmek en hızlı doğruluk sınamasıdır. y(0) = 1 olan y′ = x + y için h = 0,1 ile 10 adım 3,1875'te biter, h = 0,05 ile 20 adım 3,3066'da biter; yani iki sonuç birbirini tutmaz ve hiçbiri kesin değildir. b = −10 ve h = 0,25 ile bir sönüm daha kötüdür: y önce −1,5000, sonra 2,2500 olur ve 4 adım sonunda 5,0625'e çıkar; sönmek yerine büyür. Hangi denklemi adım adım çözüyorsunuz?

Popüler hesaplayıcılar

Kredi Hesaplama

Aylık taksit, toplam faiz ve ödeme planını hesaplayın.

Yüzde Hesaplama

Yüzde değişim, indirim ve oran hesaplamaları.

İndirim Hesaplama

İndirimli fiyatı, kazancı ve indirim tutarını hesaplayın.

Vücut Kitle Endeksi (VKİ)

Boy ve kiloya göre vücut kitle endeksini hesaplayın.

Yaş Hesaplama

Doğum tarihinden bugüne tam yıl, ay ve gün cinsinden yaşınızı hesaplayın.

Bileşik Faiz Hesaplama

Ana para, faiz oranı ve süreye göre bileşik faizle nihai tutarı hesaplayın.

Tüm Hesaplayıcılar