HesapHanem

Üçüncü Derece Denklem Çözücü

Herhangi bir üçüncü derece denklemin tüm köklerini çözün

Nasıl hesaplanır?

ax³ + bx² + cx + d = 0 için araç x = t + öteleme dönüşümünü yapar; öteleme = −b / 3a ve t³ + pt + q = 0 elde edilir, burada p = (3ac − b²) / 3a² ve q = (2b³ − 9abc + 27a²d) / 27a³ olur. Sonra D = q²/4 + p³/27 bakılır. D pozitifse Cardano'nun küp köklerini kullanıp bir reel kök ve bir karmaşık çift yazar. D sıfırsa (köklerin büyüklüğüne göre küçük bir tolerans içinde) tekrarlı reel kökleri, üç katlı kökte ise tek bir değeri yazar. D negatifse üç farklı reel kök için trigonometrik formülü kullanır. Kökler iki ondalığa yuvarlanır, küçük köklerde daha fazla ondalık gösterilir (0,01, 0,02, 0,03 kökleri 0,0100, 0,0200, 0,0300 olarak yazılır). Genel diskriminant Δ da gösterilir; çok küçük ama sıfır olmayan Δ bilimsel gösterimle yazılır. a katsayısı 0 olamaz, çünkü denklem artık üçüncü derece olmaz.

Örnek hesaplama

x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 denklemini alalım: a = 1, b = −6, c = 11, d = −6. Öteleme = 2, p = −1, q = 0; yani D = −1/27 negatiftir ve üç farklı reel kök vardır. m = 2·√(1/3) ≈ 1,155 ve θ = π/6 ile üç kosinüs terimine öteleme eklenince 1, 2 ve 3 çıkar. Araç 1,00, 2,00, 3,00 (reel) yazar, diskriminant 4,00'dır. Kontrol: (x−1)(x−2)(x−3) açılımı aynı polinomu verir.

Bu örneği dene →

Sık yapılan hatalar

  • Bir katsayıyı boş bırakmak ya da aslında ikinci derece olan bir denklem için a = 0 girmek; a sıfırsa araç sonuç vermez.
  • Katsayının eksi işaretini düşürmek, örneğin x² terimi için −6 yerine 6 yazmak.
  • 1,00 gibi yuvarlanmış bir kökü kesin sanmak; kökler yuvarlanmış gösterilir (iki ondalık, 1'in altındaki köklerde daha fazla), güvenmeden önce denklemde yerine koyup deneyin.
  • Tekrarlı her kökün üç kez yazılmasını beklemek: üç katlı kök bir kez yazılır; Δ'nın işareti reel kök sayısını söyler (pozitif: üç farklı reel kök; negatif: bir reel ve iki karmaşık kök).

Bu hesaplama hakkında

Bu çözücü, ax³ + bx² + cx + d = 0 denkleminin tüm köklerini, kübik ifadeyi indirgeyen (yerine koyma ile x² terimini yok eden) ve ardından ortaya çıkan formu küpkök kombinasyonlarıyla çözen 16. yüzyıla ait cebirsel teknik olan Cardano yöntemiyle bulur. Sayılara bakmadan önce köklerin doğasını gösteren diskriminantı da verir: pozitifse üç farklı reel kök, sıfırsa tüm kökler reeldir ve en az ikisi eşittir (çift kök veya üçü de çakışıyorsa üçlü kök), negatifse bir reel kök artı bir çift eşlenik karmaşık kök vardır.

Mühendisler ve fizikçiler, hacim hesaplarında, denge noktalarında veya bazı sistemlerin karakteristik denklemlerinde üçüncü derece denklemlerle karşılaşır; matematik öğrencileri de elle yapılan Cardano yöntemi çözümlerini doğrulamak için bunu kullanır, çünkü bu yöntemde iç içe geçmiş köklerin çokluğu yüzünden aritmetik hata yapmak oldukça kolaydır.

Bu faydalı oldu mu?

En fazla 3 tepki seçebilirsiniz.

Yorumlar (1)

  • Editör ekibi

    Sonucu hızlıca denetlemek için Vieta bağıntıları kullanılabilir: üç kökün toplamı eksi b bölü a, çarpımı ise eksi d bölü a eder. x³ − 6x² + 11x − 6 denkleminde 1, 2 ve 3 köklerinin toplamı 6, çarpımı da 6'dır. Bu, karmaşık eşlenik çiftlerde de geçerlidir; yalnızca gösterilen ondalığa yuvarlama küçük bir fark bırakabilir. Sonuç size tuhaf geliyorsa dört katsayıyı paylaşın.

Popüler hesaplayıcılar

Kredi Hesaplama

Aylık taksit, toplam faiz ve ödeme planını hesaplayın.

Yüzde Hesaplama

Yüzde değişim, indirim ve oran hesaplamaları.

İndirim Hesaplama

İndirimli fiyatı, kazancı ve indirim tutarını hesaplayın.

Vücut Kitle Endeksi (VKİ)

Boy ve kiloya göre vücut kitle endeksini hesaplayın.

Yaş Hesaplama

Doğum tarihinden bugüne tam yıl, ay ve gün cinsinden yaşınızı hesaplayın.

Bileşik Faiz Hesaplama

Ana para, faiz oranı ve süreye göre bileşik faizle nihai tutarı hesaplayın.

Tüm Hesaplayıcılar