HesapHanem

Alt Faktöriyel Hesaplama

n öğenin düzensizlik sayısını bulun.

Nasıl hesaplanır?

Alt faktöriyel !n, düzensizlikleri sayar: n farklı nesnenin hiçbirinin ilk yerinde kalmadığı dizilişler. Araç !n = (n − 1) × (!(n − 1) + !(n − 2)) özyinelemesini !0 = 1 ve !1 = 0 ile kullanır. Aynı değer, n! / e'ye en yakın tam sayıdır.

n tam sayıya kesilir ve 0 ile 170 arasında olmalıdır. Değerler çok hızlı büyür; yaklaşık n = 18'in üzerinde ara sonuçlar sıradan kayan noktalı aritmetiğin tam tutabileceği sınırı aşar, bu yüzden çok büyük sonuçlarda yalnızca ilk basamaklara güvenilebilir. n = 1 için cevap 0'dır, çünkü tek bir nesne yerinden oynatılamaz.

Örnek hesaplama

n = 5 için: !0 = 1, !1 = 0. !2 = 1 × (0 + 1) = 1. !3 = 2 × (1 + 0) = 2. !4 = 3 × (2 + 1) = 9. !5 = 4 × (9 + 2) = 44. Kontrol: 5! / e = 120 / 2,71828 ≈ 44,15, en yakın tam sayı 44. Araç 44 gösterir.

Bu örneği dene →

Sık yapılan hatalar

  • !n ile n!'i karıştırmak: 5 için sırasıyla 44 ve 120'dir.
  • !n'nin en az bir nesnenin yer değiştirdiği dizilişleri saydığını sanmak; o sayı n! − 1 olurdu. Düzensizlikte her nesne yer değiştirmelidir.
  • "!5" gösterimini başka notasyondaki faktöriyel sanmak; burada ünlem işareti başta yer alır.
  • Büyük n için sonucun her basamağına güvenmek; yaklaşık n = 18 üzerindeki sonuçlar yaklaşıktır.

Bu hesaplama hakkında

Alt faktöriyel !n, aynı zamanda n nesnenin düzensizlik (derangement) sayısı olarak da adlandırılır ve hiçbir nesnenin orijinal konumunda kalmadığı permütasyonların sayısını verir. !n = n! · Σ(k=0'dan n'e) (−1)^k/k! olarak tanımlanır ve büyük n için n!/e'ye çok yaklaşır — aslında !n, n!/e'ye en yakın tam sayıdır. Örneğin !4 = 9'dur: 4 öğenin 24 permütasyonundan yalnızca 9'unda her öğe yerinden farklı bir konumdadır.

Klasik örneği "şapka kontrol problemi"dir (veya "yanlış zarflanan mektuplar problemi"): n kişi şapkalarını bıraktığında ve rastgele geri verildiğinde, !n her tek kişinin yanlış şapkayı geri aldığı yolların sayısını verir. Kombinatorik öğrencileri, olasılık dersleri ve bulmaca meraklıları düzensizlik problemlerini çözmek için alt faktöriyel hesaplamalarını kullanır; kavram, "hiçbir şeyin orijinal yerinde kalmadığı" permütasyonların önemli olduğu kriptografi ve kodlama teorisine kadar uzanır.

Bu faydalı oldu mu?

En fazla 3 tepki seçebilirsiniz.

Yorumlar (1)

  • Editör ekibi

    Akla yatkınlığı denetlemenin kolay yolu, !n değerini n! değerine bölmektir. Oran çok erken 0,368 civarına, yani 1/e değerine oturur: n = 5 için 44/120, yaklaşık 0,367. Demek ki birkaç kişilik rastgele bir karıştırmada kimsenin kendi yerinde kalmama olasılığı kabaca üçte birdir. Kimsenin kendi adını çekemediği çekiliş oyunları tam olarak bu hesaba dayanır. Sizi buraya hangi derangement bulmacası getirdi?

Popüler hesaplayıcılar

Kredi Hesaplama

Aylık taksit, toplam faiz ve ödeme planını hesaplayın.

Yüzde Hesaplama

Yüzde değişim, indirim ve oran hesaplamaları.

İndirim Hesaplama

İndirimli fiyatı, kazancı ve indirim tutarını hesaplayın.

Vücut Kitle Endeksi (VKİ)

Boy ve kiloya göre vücut kitle endeksini hesaplayın.

Yaş Hesaplama

Doğum tarihinden bugüne tam yıl, ay ve gün cinsinden yaşınızı hesaplayın.

Bileşik Faiz Hesaplama

Ana para, faiz oranı ve süreye göre bileşik faizle nihai tutarı hesaplayın.

Tüm Hesaplayıcılar