حاسبة المضروب الجزئي

حول هذه الأداة

يحصي المضروب الجزئي !n، ويسمى أيضًا عدد الترتيبات المُزاحة لـ n، التباديل لـ n من الأشياء التي لا يبقى فيها أي شيء في موضعه الأصلي. ويُعرّف بالعلاقة !n = n! · Σ(k=0 to n) (−1)^k/k!، وينمو قريبًا جدًا من n!/e للقيم الكبيرة لـ n — بل إن !n هو أقرب عدد صحيح إلى n!/e. فمثلًا !4 = 9: من بين ٢٤ تبديلًا لأربعة عناصر، لا يترك كل عنصر في غير مكانه إلا ٩ منها.

المثال الكلاسيكي هو «مسألة فحص القبعات» (أو «مسألة الرسائل الخاطئة العنوان»): إذا ترك n من الأشخاص قبعاتهم ثم أُعيدت إليهم عشوائيًا، فإن !n هو عدد الطرق التي يحصل بها كل شخص بلا استثناء على القبعة الخطأ. ويستخدم طلاب التوافقيات ومقررات الاحتمالات وهواة الألغاز حسابات المضروب الجزئي لحل مسائل الترتيبات المُزاحة، ويمتد المفهوم إلى التشفير ونظرية الترميز حيثما تهم التباديل التي «لا يبقى فيها شيء في موضعه الأصلي».