HesapHanem

Düzensizlik (Derangement) Hesaplama

Düzensizlik sayısını bulmak için öğe sayısını girin.

Nasıl hesaplanır?

n öğenin düzensizliği, her öğenin başladığı yerden farklı bir yere gittiği dizilimdir. Araç !n sayısını !n = (n − 1) × (!(n − 1) + !(n − 2)) yineleme bağıntısıyla, !0 = 1 ve !1 = 0 başlangıcından kurar. Binlik ayraçlı kesin tam sayıyı ve rastgele bir karıştırmanın düzensizlik olma olasılığını verir: P = !n ÷ n!, altı ondalıkla yazılır.

Yalnızca 0 ile 25 arasındaki tam sayılar kabul edilir; ondalıklı sayı, negatif sayı ya da 26 ve üstü sonuç vermez. Sınır durumlar kurala uyar: hiçbir şeyi dizmenin 1 yolu vardır (n = 0, olasılık 1), tek öğe için hiç yol yoktur (n = 1, olasılık 0), iki öğe için bir yol vardır (yer değiştirme, olasılık 0,5). Büyük n için olasılık 1 ÷ e değerine, yani yaklaşık 0,3679'a oturur.

Örnek hesaplama

Altı kişi şapkalarını bırakıyor ve hiçbiri kendi şapkasını geri almıyor. Diziyi kuralım: !0 = 1, !1 = 0, !2 = 1×(0+1) = 1, !3 = 2×(1+0) = 2, !4 = 3×(2+1) = 9, !5 = 4×(9+2) = 44, !6 = 5×(44+9) = 265. Tüm dizilimler: 6! = 720. Olasılık = 265 ÷ 720 = 0,368056, yani yaklaşık %36,8 ve 1 ÷ e sınırına yakın.

Bu örneği dene →

Sık yapılan hatalar

  • !n (düzensizlik) ile n! (tüm dizilimler) sayısını karıştırmak. 6 öğe için 720 dizilim vardır ama yalnızca 265'i düzensizliktir.
  • n büyüdükçe olasılığın düşeceğini sanmak. Düşmez: hızla 0,3679 civarında sabitlenir, yani 25 kişilik grup ile 8 kişilik grup neredeyse aynıdır.
  • Öğe sayısı yerine çift ya da grup sayısını girmek. Araç n farklı öğenin permütasyonlarını sayar; 6 kişilik bir hediye çekilişinde n = 6 olur.
  • Bazı öğelerin aynı olduğu ya da bazı kişilerin belli öğeleri alamadığı bir çekilişe uygulamak. Sayım, tüm öğelerin farklı olduğunu ve tek yasak durumun her öğenin kendi yerinde kalması olduğunu varsayar.
  • n = 1 için çıkan 0'ı hata sanmak. Tek öğede tek dizilim öğeyi yerinde bırakır, bu yüzden sıfır düzensizlik doğru cevaptır.

Bu hesaplama hakkında

Düzensizlik (derangement), hiçbir öğenin orijinal konumunda kalmadığı bir permütasyondur — klasik örneği “şapka kontrol problemi”dir: n kişi şapkasını bırakır ve her biri yanlış şapkayla geri döner. Düzensizlik sayısı, !n şeklinde yazılır ve !n = n! × Σ(−1)^k/k! (k = 0'dan n'e) formülünü izler; ayrıca !n = (n−1)(!(n−1) + !(n−2)) şeklindeki sade yineleme bağıntısını da sağlar.

Bu hesaplayıcı, herhangi bir öğe sayısı için !n'i ve rastgele bir permütasyonun bir düzensizlik olma olasılığını hesaplar — n büyüdükçe bu değer hızla 1/e ≈ %36,8'e yakınsar. Kombinatorik ve ayrık matematik derslerinde sıkça kullanılan bir örnektir; altında yatan mantık, sabit noktası olmayan permütasyonları içeren algoritma tasarımı ve kriptografi problemlerinde ve iyi bilinen “Gizli Noel Baba” hediye değişimi bulmacasında karşımıza çıkar.

Bu faydalı oldu mu?

En fazla 3 tepki seçebilirsiniz.

Yorumlar (1)

  • Editör ekibi

    Gizli Noel Baba tam da bu araca uygun bir örnektir. Kimse kendi adını çekmeyene kadar çekilişi yeniden yapıyorsanız, tek bir rastgele çekilişin tutma olasılığı altı ve üzeri kişide yaklaşık 0,368'dir; yani ortalama 2,7 deneme beklersiniz. Eşlerin birbirini çekmemesi gibi ek kurallar burada hesaba katılmaz. Sizin çekilişinizde böyle kısıtlar var mı? Bunları nasıl çözdüğünüzü bizimle paylaşın.

Popüler hesaplayıcılar

Kredi Hesaplama

Aylık taksit, toplam faiz ve ödeme planını hesaplayın.

Yüzde Hesaplama

Yüzde değişim, indirim ve oran hesaplamaları.

İndirim Hesaplama

İndirimli fiyatı, kazancı ve indirim tutarını hesaplayın.

Vücut Kitle Endeksi (VKİ)

Boy ve kiloya göre vücut kitle endeksini hesaplayın.

Yaş Hesaplama

Doğum tarihinden bugüne tam yıl, ay ve gün cinsinden yaşınızı hesaplayın.

Bileşik Faiz Hesaplama

Ana para, faiz oranı ve süreye göre bileşik faizle nihai tutarı hesaplayın.

Tüm Hesaplayıcılar