HesapHanem

2×2 Matris Determinant Hesaplama

Bir 2×2 matrisin determinantını ve izini bulun.

Nasıl hesaplanır?

İlk satırı a, b, ikinci satırı c, d olan matris için araç iki sayı verir. Determinant det = a·d − b·c olup ana köşegenin çarpımından diğer köşegenin çarpımı çıkarılır. İz iz = a + d yani ana köşegenin toplamıdır. Negatif ve ondalıklı olanlar dahil her gerçek sayı kabul edilir, dört girdinin tamamı gereklidir. Sonuçlar iki ondalığa yuvarlanır. Determinantın 0 olması matrisin tersinin olmadığını gösterir. Araç tersi ya da özdeğerleri hesaplamaz; ancak iki çıktıyla özdeğerleri λ² − iz·λ + det = 0 denkleminden bulabilirsiniz.

Örnek hesaplama

İlk satırı 3, 2 ve ikinci satırı 1, 4 olan matrisi alalım; yani a = 3, b = 2, c = 1, d = 4. Determinant: 3 × 4 − 2 × 1 = 12 − 2 = 10,00. İz: 3 + 4 = 7,00. Determinant sıfır olmadığından matris tersinirdir ve temsil ettiği dönüşüm alanları 10 ile çarpar. Kontrol için özdeğerler λ² − 7λ + 10 = 0 denklemini çözer: 2 ve 5; toplamları 7, çarpımları 10'dur.

Bu örneği dene →

Sık yapılan hatalar

  • Girdileri sütun sütun girmek. Alanlar satırları izler: a ve b üst satır, c ve d alt satırdır. b ile c'nin yer değiştirmesi determinantı değiştirmez, ama a ile b'nin yer değiştirmesi değiştirir.
  • ad − bc yerine ad + bc hesaplamak. İşaret önemlidir: 3, 2, 1, 4 için toplam 10 yerine 14 verirdi.
  • İzi determinantla karıştırmak. İz yalnızca ana köşegeni toplar (a + d), b ve c'yi dikkate almaz.
  • Ekranda görünen küçük bir sayıdan matrisin tersinir, 0,00'dan tekil olduğunu kesin sanmak. İki ondalığa yuvarlama çok küçük bir determinantı gizleyebilir; çok küçük girdilerde tam değeri kontrol edin.
  • 2×2 aracı daha büyük bir sistem için kullanmak. 3×3 determinantın formülü farklıdır ve bu iki sayıdan türetilemez.

Bu hesaplama hakkında

[[a, b], [c, d]] biçimindeki bir 2×2 matriste determinant, det(A) = ad − bc formülüyle, iz (trace) ise tr(A) = a + d formülüyle bulunur. Determinant, matrisin temsil ettiği doğrusal dönüşümün alanı ne kadar ölçeklendirdiğini gösterir: determinant 0 ise matris düzlemi bir doğruya sıkıştırır (tekildir, tersi yoktur), negatifse dönüşüm yönelimi (oryantasyonu) ters çevirir. İz, matrisin özdeğerlerinin toplamına, determinant ise özdeğerlerin çarpımına eşittir; bu nedenle ikisi birlikte λ² − tr(A)·λ + det(A) = 0 denklemi üzerinden matrisin özdeğerlerini tam olarak belirler.

Lineer cebir öğrencileri bunu tersinirliği kontrol etmek ve Cramer kuralıyla 2×2 denklem sistemlerini çözmek için kullanır; mühendisler ve bilgisayar grafikleri programcıları ise 2 boyutlu bir dönüşümün (döndürme, ölçekleme, kaydırma) alanı ve yönelimi nasıl etkilediğini anlamak için başvurur. Ayrıca kriptografide (Hill şifrelemesi tersinir bir anahtar matrisi gerektirir) ve kontrol teorisi ile fizikte, küçük bir sistem matrisinin iz ve determinantının kararlılık davranışını ortaya koyduğu durumlarda kullanılır.

Bu faydalı oldu mu?

En fazla 3 tepki seçebilirsiniz.

Yorumlar (1)

  • Editör ekibi

    Determinant alan olarak da okunur: matrisin sütunları bir paralelkenar oluşturur ve alanı ad eksi bc değerinin mutlak değeridir. Bir başka kullanım Hill şifresidir; orada sıfırdan farklı determinant yetmez, çünkü 26 ile ortak çarpanı olmamalıdır. 3, 3, 2, 5 girdili bir anahtar 9 verir ve işe yarar, 3, 2, 1, 4 ise 10 verir ve yaramaz. Sizi hangi kullanım buraya getirdi?

Popüler hesaplayıcılar

Kredi Hesaplama

Aylık taksit, toplam faiz ve ödeme planını hesaplayın.

Yüzde Hesaplama

Yüzde değişim, indirim ve oran hesaplamaları.

İndirim Hesaplama

İndirimli fiyatı, kazancı ve indirim tutarını hesaplayın.

Vücut Kitle Endeksi (VKİ)

Boy ve kiloya göre vücut kitle endeksini hesaplayın.

Yaş Hesaplama

Doğum tarihinden bugüne tam yıl, ay ve gün cinsinden yaşınızı hesaplayın.

Bileşik Faiz Hesaplama

Ana para, faiz oranı ve süreye göre bileşik faizle nihai tutarı hesaplayın.

Tüm Hesaplayıcılar