HesapHanem

QR Ayrıştırma Hesaplayıcı

2×2 matrisinizin dört elemanını girin.

Nasıl hesaplanır?

Matris satır satır [a, b; c, d] biçiminde girilir; yani sütunları v1 = (a, c) ve v2 = (b, d)'dir. Gram-Schmidt önce r11 = |v1| ve q1 = v1 ÷ r11 değerlerini belirler. Sonra v2'nin q1 doğrultusundaki bileşeni olan r12 = q1 · v2 çıkarılır ve u2 = v2 − r12 × q1 bulunur; r22 = |u2| ve q2 = u2 ÷ r22 olur. Sonuç A = Q × R eşitliğini sağlar; Q'nun sütunları q1 ve q2, R ise [r11, r12; 0, r22] matrisidir. R'nin köşegeni burada her zaman pozitiftir. Sütunları doğrusal bağımlı (determinantı 0) olan ya da ilk sütunu sıfır olan matrislerde bu araç QR sonucu vermez. Elemanlar dört ondalıkla gösterilir.

Örnek hesaplama

A = [3, 1; 4, 2] matrisini alalım. İlk sütun (3, 4) için uzunluk √(9 + 16) = 5 olduğundan r11 = 5 ve q1 = (0,6, 0,8) olur. Sonra r12 = 0,6 × 1 + 0,8 × 2 = 2,2. İkinci sütundan (1, 2), 2,2 × q1 = (1,32, 1,76) çıkarılırsa (−0,32, 0,24) kalır; uzunluğu 0,4'tür. Bu r22'dir ve q2 = (−0,8, 0,6) bulunur. Araç Q = [0,6000, -0,8000; 0,8000, 0,6000] ve R = [5,0000, 2,2000; 0,0000, 0,4000] gösterir. Q ile R çarpılınca A geri elde edilir; ayrıca 5 × 0,4 = 2, A'nın determinantının mutlak değerine eşittir.

Bu örneği dene →

Sık yapılan hatalar

  • Matrisi satırlar yerine sütunlar halinde girmek. Alanlar [a, b; c, d] satırlarıdır; ikinci satır ikinci sütun değil c ve d'dir.
  • [1, 2; 2, 4] gibi tekil bir matris girmek; burada bir sütun diğerinin katıdır. İkinci bir dik doğrultu yoktur ve araç sonuç vermez.
  • Başka bir programla aynı işaretleri beklemek. QR ayrıştırması işaret farkıyla tek değildir; bu araç R'nin köşegenini pozitif tutar, NumPy ya da MATLAB ise negatif köşegen ve ters çevrilmiş Q sütunları verebilir.
  • Çıktıyı satır yerine sütun olarak okumak. Her matris satır satır yazılır ve satırlar noktalı virgülle ayrılır.
  • Sonucu daha büyük sistemler için kullanmak. Yalnızca 2×2 matrisler işlenir ve dört ondalıkla gösterilen değerler yuvarlanmıştır; Q ile R'yi elle çarparsanız küçük yuvarlama farkları görülür.

Bu hesaplama hakkında

QR ayrıştırması, bir A matrisini ortogonal bir Q matrisi (sütunları birim vektör ve birbirine dik) ile üst üçgensel bir R matrisinin çarpımına ayırır. 2×2 bir matris için bu hesaplayıcı, sütun vektörlerine Gram-Schmidt yöntemini uygular: ilk sütun normalize edilerek Q'nun ilk sütununu oluşturur, ardından ikinci sütunun birinciye izdüşümü çıkarılıp normalize edilerek ikinci sütun elde edilir — izdüşüm katsayıları ve kalan uzunluklar R'nin elemanlarını oluşturur.

QR ayrıştırması sayısal doğrusal cebirin temel araçlarındandır; verilere regresyon doğruları ve eğrileri uydurmak için kullanılan en küçük kareler yönteminin dayanağıdır ve bir matrisin özdeğerlerini hesaplamak için kullanılan QR algoritmasının temelini oluşturur. Ayrıca normal denklemleri doğrudan çözmekten daha sayısal kararlıdır; bu yüzden istatistikçiler, mühendisler ve LAPACK gibi bilimsel hesaplama kütüphaneleri doğrusal sistemleri çözmek ve modelleri uydurmak için pratikte bunu kullanır.

Bu faydalı oldu mu?

En fazla 3 tepki seçebilirsiniz.

Yorumlar (1)

  • Editör ekibi

    Çıktıya güvenmek için iki hızlı kontrol var. Birincisi, Q'nun iki sütunu birbirine dik ve birim uzunlukta olmalıdır; yani iç çarpımları sıfır çıkmalıdır. İkincisi, Q ile R'yi çarptığınızda kendi matrisinizi geri almalısınız. R'nin sağ alt girdisi 0,0000 görünüyorsa sütunlarınız neredeyse bağımlıdır ve Q'nun ikinci sütununun bir anlamı yoktur; ona güvenmeyin. 2'ye 2'nin ötesinde hangi matris boyutlarını görmek istersiniz?

Popüler hesaplayıcılar

Kredi Hesaplama

Aylık taksit, toplam faiz ve ödeme planını hesaplayın.

Yüzde Hesaplama

Yüzde değişim, indirim ve oran hesaplamaları.

İndirim Hesaplama

İndirimli fiyatı, kazancı ve indirim tutarını hesaplayın.

Vücut Kitle Endeksi (VKİ)

Boy ve kiloya göre vücut kitle endeksini hesaplayın.

Yaş Hesaplama

Doğum tarihinden bugüne tam yıl, ay ve gün cinsinden yaşınızı hesaplayın.

Bileşik Faiz Hesaplama

Ana para, faiz oranı ve süreye göre bileşik faizle nihai tutarı hesaplayın.

Tüm Hesaplayıcılar