HesapHanem

İki Vektör Arasındaki Açı Hesaplama

Aralarındaki açıyı bulmak için iki 3B vektörün bileşenlerini girin.

Nasıl hesaplanır?

a = (ax, ay, az) ve b = (bx, by, bz) vektörleri için araç, nokta çarpımı a·b = ax·bx + ay·by + az·bz ve uzunlukları |a| = √(ax² + ay² + az²) ile |b| (aynı şekilde) hesaplar. Açı cos θ = a·b ÷ (|a| × |b|) ilişkisinden, yani θ = arccos(cos θ) ile bulunur. Sonuç derece (iki ondalık) ve radyan (dört ondalık) olarak, nokta çarpımla birlikte gösterilir.

Altı bileşenin hepsi gereklidir; iki boyutlu bir problemde z bileşenleri için 0 girin. Sonuç iki yönün arasındaki küçük açı olduğundan her zaman 0° ile 180° arasındadır. Vektörlerden biri tamamen sıfırsa açı tanımsızdır ve araç sonuç göstermez. Oran, ters kosinüs alınmadan önce −1 ile 1 aralığına sıkıştırılır; böylece paralel vektörlerde küçük yuvarlama hataları hataya yol açmaz. Bileşenler negatif ya da ondalıklı olabilir, birim gerekmez.

Örnek hesaplama

a = (1, 2, 3) ve b = (4, 5, 6) alalım. Nokta çarpım 1×4 + 2×5 + 3×6 = 4 + 10 + 18 = 32'dir. Uzunluklar |a| = √14 ≈ 3,7417 ve |b| = √77 ≈ 8,7750'dir. Buradan cos θ = 32 ÷ (3,7417 × 8,7750) ≈ 0,9746 ve bunun ters kosinüsü 12,93° yani 0,2257 rad çıkar. İki vektör neredeyse aynı yönü gösterir; bu yüzden açı küçük, 32,00 olan nokta çarpım ise büyük ve pozitiftir.

Bu örneği dene →

Sık yapılan hatalar

  • Bir bileşeni, örneğin iki boyutlu vektörün z değerini, boş bırakmak. Altı alan da gereklidir; 0 girin.
  • Vektör yerine doğrunun uç noktalarını girmek. Başlangıç ve bitiş noktalarınız varsa önce bunları çıkarıp bileşenleri bulun.
  • 180°'nin üzerinde bir açı beklemek. Sonuç vektörler arasındaki küçük açıdır, hiçbir zaman 180°'yi geçmez.
  • Yönü olmayan sıfır vektörünü kullanmak; bu durumda açı bulunamaz.
  • Negatif nokta çarpımı hata sanmak. Bu yalnızca açının 90°'den büyük olduğunu gösterir.

Bu hesaplama hakkında

İki vektör arasındaki açı doğrudan nokta çarpım formülünden gelir: cos θ = (a · b) / (|a| |b|); burada a · b karşılık gelen bileşenlerin çarpımlarının toplamı, |a| ve |b| ise vektörlerin büyüklükleridir. Bu oranın ters kosinüsünü almak θ'yı doğrudan radyan cinsinden verir; bu hesaplayıcı sonucu dereceye de çevirir.

Bu, 3B matematikte en sık kullanılan ilişkilerden biridir: bilgisayar grafikleri ve oyun motorları bunu aydınlatma hesaplamaları ve çarpışma tespiti için, fizikçiler kuvvet ve tork çözümlemesi için, robotik mühendisleri ise eklem açıları ve hareket planlaması için kullanır. Nokta çarpımı tam olarak vektörler dik olduğunda sıfır olduğundan, bu formül aynı zamanda diklik için standart bir test olarak da işlev görür.

Bu faydalı oldu mu?

En fazla 3 tepki seçebilirsiniz.

Yorumlar (1)

  • Editör ekibi

    Açının yanında nokta çarpımın işareti hızlı bir kontrol sağlar: pozitifse açı 90 dereceden küçük, sıfırsa tam 90, negatifse daha büyüktür. Örneğin (1, 1, 0) ile (1, -1, 0) için nokta çarpım 0,00 ve açı 90,00 derecedir; (1, 0, 0) ile (-2, 0, 0) ise 180,00 derece ve -2,00 verir. Düzlemdeki 2B sorularda z kutularına 0 yazın. Bunu hangi alanda kullanıyorsunuz: grafik, fizik ya da başka bir şey?

Popüler hesaplayıcılar

Kredi Hesaplama

Aylık taksit, toplam faiz ve ödeme planını hesaplayın.

Yüzde Hesaplama

Yüzde değişim, indirim ve oran hesaplamaları.

İndirim Hesaplama

İndirimli fiyatı, kazancı ve indirim tutarını hesaplayın.

Vücut Kitle Endeksi (VKİ)

Boy ve kiloya göre vücut kitle endeksini hesaplayın.

Yaş Hesaplama

Doğum tarihinden bugüne tam yıl, ay ve gün cinsinden yaşınızı hesaplayın.

Bileşik Faiz Hesaplama

Ana para, faiz oranı ve süreye göre bileşik faizle nihai tutarı hesaplayın.

Tüm Hesaplayıcılar