HesapHanem

Doğrusal Bağımsızlık Hesaplayıcı

Doğrusal bağımsızlığı kontrol etmek için iki 3B vektörün bileşenlerini girin.

Nasıl hesaplanır?

Araç, üç boyutta iki vektörü sınar: u = (a, b, c) ve v = (d, e, f). Çapraz çarpımı u × v = (b·f − c·e, c·d − a·f, a·e − b·d) ve uzunluğunu √(x² + y² + z²) hesaplar; bu uzunluk iki vektörün gerdiği paralelkenarın alanına eşittir. Uzunluk sıfırdan belirgin biçimde büyükse vektörler doğrusal bağımsız, sıfırsa bağımlıdır (paralel ya da biri sıfır vektör).

Kayan noktalı yuvarlama nedeniyle "sıfır", vektörlerin büyüklüğüne göre değerlendirilir: çapraz çarpımın uzunluğu, iki vektör uzunluğunun çarpımının milyarda birinden küçükse sıfır sayılır. Bu yüzden (0,1; 0,2; 0,3) ve (0,3; 0,6; 0,9) gibi tam katı olan ondalıklı girdiler doğru biçimde bağımlı çıkar. Bağımlı durumda çapraz çarpım (0,00, 0,00, 0,00) olarak gösterilir. Altı bileşen de zorunludur; yalnızca iki vektör sınanır, daha büyük kümeler değil.

Örnek hesaplama

u = (1, 2, 3) ve v = (4, 5, 6) alalım. Birinci bileşen: 2·6 − 3·5 = 12 − 15 = −3. İkinci: 3·4 − 1·6 = 12 − 6 = 6. Üçüncü: 1·5 − 2·4 = 5 − 8 = −3. Çapraz çarpım (-3,00, 6,00, -3,00) çıkar; sıfır olmadığı için vektörler bağımsızdır. Uzunluğu √(9 + 36 + 9) = √54 = 7,35'tir. v yerine 2u olan (2, 4, 6) yazarsanız sonuç (0,00, 0,00, 0,00) ve Bağımlı olur.

Bu örneği dene →

Sık yapılan hatalar

  • Altı sayıyı yanlış sırada girmek. İlk üçü (a, b, c) birinci vektör, son üçü (d, e, f) ikinci vektördür; koordinatları vektörler arasında karıştırmak sonucu değiştirir.
  • Neredeyse paralel bir çiftin çapraz çarpımının sıfırdan farklı görüneceğini sanmak. (1, 2, 3) ve (2, 4, 6,001) için hüküm Bağımsız'dır, ancak çıktı iki ondalığa yuvarlandığından (0,002; −0,001; 0) çapraz çarpımı (0,00, 0,00, 0,00) görünür.
  • Aracı üç ya da daha fazla vektör için ya da başka boyutlardaki vektörler için kullanmak. Araç tam olarak iki 3B vektörü sınar; üçüncü bir vektör için determinant ya da rank sınaması gerekir.
  • Sıfır vektörün her zaman bağımlı olduğunu unutmak. Vektörlerden biri (0, 0, 0) ise çapraz çarpım sıfırdır ve araç Bağımlı der.
  • Çapraz çarpımın uzunluğunu bağımsızlığın ölçüsü sanmak. Uzunluk, aradaki açının yanı sıra vektör boylarına da bağlıdır.

Bu hesaplama hakkında

Üç boyutlu uzaydaki iki vektör, biri diğerinin skaler katı olmadığında — geometrik olarak aynı doğru boyunca yönlenmediklerinde — doğrusal bağımsızdır. Bunu 3B'de test etmenin en temiz yolu çapraz çarpımdır: u × v sıfır vektörü çıkıyorsa iki vektör paraleldir (bağımlıdır); sıfırdan farklıysa bir düzlem gerer ve bağımsızdırlar.

Bu hesaplayıcı, vektörlerin bileşenlerinden bu çapraz çarpımı doğrudan hesaplar ve sonuçtan bağımsızlığı okur. Bu kavram, doğrusal cebirin temel konularının altında yatar — bir vektör kümesinin bir taban oluşturup oluşturamayacağını, bir matrisin tersinir olup olmadığını ve bir denklem sisteminin tek bir çözümü olup olmadığını belirlemek gibi — bu yüzden vektör uzaylarını işleyen öğrenciler için sürekli karşımıza çıkar; ayrıca bilgisayar grafikleri ve fizik gibi uygulamalı alanlarda bir koordinat çerçevesi tanımlamak için bağımsız yön vektörlerine ihtiyaç duyulur.

Bu faydalı oldu mu?

En fazla 3 tepki seçebilirsiniz.

Yorumlar (1)

  • Editör ekibi

    Ders sorularının ötesinde pratik bir kullanım: üç noktanın aynı doğru üzerinde olup olmadığını kontrol etmek. İlk noktayı diğer ikisinden çıkararak iki vektör elde edin ve girin; sonuç Bağımlı ise noktalar doğrusaldır. Test vektörlerin boyuna göre yapıldığı için, ölçümden gelen ve biraz hata içeren koordinatlar çoğunlukla Bağımsız çıkar. Sıfıra yakın sonuçlarda çapraz çarpımın uzunluğuna bakın. Geometri ya da grafik işinizde ikiden fazla vektörü test etmeniz gerekiyorsa aşağıda anlatın.

Popüler hesaplayıcılar

Kredi Hesaplama

Aylık taksit, toplam faiz ve ödeme planını hesaplayın.

Yüzde Hesaplama

Yüzde değişim, indirim ve oran hesaplamaları.

İndirim Hesaplama

İndirimli fiyatı, kazancı ve indirim tutarını hesaplayın.

Vücut Kitle Endeksi (VKİ)

Boy ve kiloya göre vücut kitle endeksini hesaplayın.

Yaş Hesaplama

Doğum tarihinden bugüne tam yıl, ay ve gün cinsinden yaşınızı hesaplayın.

Bileşik Faiz Hesaplama

Ana para, faiz oranı ve süreye göre bileşik faizle nihai tutarı hesaplayın.

Tüm Hesaplayıcılar