HesapHanem

Kardioid Alan Hesaplama

Kardioidin ölçek parametresi a değerini girerek alan ve çevresini bulun.

Nasıl hesaplanır?

Eğri r = a(1 + cos θ) denklemiyle tanımlanır; burada a > 0 tek ölçek parametresidir. Kutupsal alan, tam turda (0'dan 2π'ye) ½ ∫ r² dθ integraliyle bulunur. r² = a²(1 + 2cos θ + cos²θ) açılıp integre edilince Alan = 3πa²/2 (1,5 × π × a²) çıkar. Araç ayrıca yay uzunluğunu verir; kardioid için bu tam olarak Çevre = 8a değeridir. İki sonuç da dört ondalıkla gösterilir. Alan, a için kullandığınız birimin karesindedir; çevre ise a ile aynı birimdedir. Sıfır veya negatif a sonuç vermez. a kalbin genişliği değildir: eğri, sivri uçtan en uzak noktada 2a'ya ulaşır.

Örnek hesaplama

a = 2 olsun (örneğin santimetre). Alan = 1,5 × π × 2² = 1,5 × π × 4 = 6π, yani 18,8496 santimetrekare. Çevre = 8 × 2 = 16,0000 santimetre. Eğrinin sivri uçtan en uzak noktası θ = 0 doğrultusunda r = 2a = 4 cm'dedir. a'yı 4'e katlarsanız çevre 32'ye iki katına çıkar, alan ise dört katına, 75,3982'ye çıkar.

Bu örneği dene →

Sık yapılan hatalar

  • a'yı kalbin tamamının yarıçapı sanmak. Sivri uçtan en uzak mesafe a değil 2a'dır.
  • r = 2a alıp daire formülü πr² kullanmak. Bu 4πa² verir ve gerçek değer olan 1,5πa²'den çok büyüktür.
  • Birimleri karıştırmak: a cm ise alan cm², çevre cm olur; ikisini aynı birim gibi okumayın.
  • r = 2a(1 + cos θ) gibi başka bir yazımı düzeltmeden girmek. O yazımda ölçek parametresi 2a'dır; (1 + cos θ) ifadesini çarpan katsayının tamamını girin.
  • Çevrenin alan gibi büyüyeceğini sanmak. Çevre a ile doğrusal, alan ise a² ile artar.

Bu hesaplama hakkında

Kardioid, kutupsal koordinatlarda r = a(1 + cos θ) formülüyle çizilen kalp şeklindeki eğridir; burada a bir ölçek parametresidir — aynı zamanda bir dairenin, kendisiyle eşit yarıçaplı başka bir dairenin çevresinde yuvarlanırken üzerindeki bir noktanın çizdiği tam yoldur (tek çıkıntılı bir episikloidin özel bir durumu). Kapladığı alan (3/2)πa², çevresi (yay uzunluğu) ise tam olarak 8a'dır.

Bu hesaplayıcı her iki değeri de doğrudan a'dan hesaplayarak, alanı türetmek için gereken kutupsal çift integrali gereksiz kılar. Kutupsal koordinatlar ve parametrik eğrileri işleyen matematik öğrencileri ve eğitmenleri, ders kitabı problemlerini kontrol etmek için bu aracı kullanır; aynı r = a(1 + cos θ) ailesi anten ışıma örüntüsü diyagramlarında ve akustikte de karşımıza çıkar — kardioid şeklindeki yönelim örüntüleri, sesi ağırlıklı olarak tek bir yönden alan mikrofonları tanımlar.

Bu faydalı oldu mu?

En fazla 3 tepki seçebilirsiniz.

Yorumlar (1)

  • Editör ekibi

    Tek girdi olan a, çizim üzerinde ölçebileceğiniz bir boyut gibi yanlış anlaşılabilir. Eğrinin en geniş kapsamı, sivri uçtan geriye a/4, ileriye 2a kadardır; yani şekil 2,25a genişliğindedir. Kardioidi 90 cm genişliğindeki bir alana sığdırmak için a = 40 alın: alan 7.539,8224, çevre 320 çıkar. Bu eğriyle nerede karşılaşıyorsunuz: bir tasarımda, bir fizik probleminde, yoksa okul alıştırmasında mı?

Popüler hesaplayıcılar

Kredi Hesaplama

Aylık taksit, toplam faiz ve ödeme planını hesaplayın.

Yüzde Hesaplama

Yüzde değişim, indirim ve oran hesaplamaları.

İndirim Hesaplama

İndirimli fiyatı, kazancı ve indirim tutarını hesaplayın.

Vücut Kitle Endeksi (VKİ)

Boy ve kiloya göre vücut kitle endeksini hesaplayın.

Yaş Hesaplama

Doğum tarihinden bugüne tam yıl, ay ve gün cinsinden yaşınızı hesaplayın.

Bileşik Faiz Hesaplama

Ana para, faiz oranı ve süreye göre bileşik faizle nihai tutarı hesaplayın.

Tüm Hesaplayıcılar